Triângulos possíveis

Quantos triângulos retângulos de lados inteiros existem tais que um de seus catetos mede 167 cm?
a) Um.
b) Dois.
c) Três.
d) Quatro.
e) Cinco.

a = hipotenusa ---> b = cateto ---> c = 167 = cateto

a² - b² = 167²

(a - b).(a + b) = 167²

167 é primo ---> tem divisores 1 e 167
167² tem divisores 1, 167 e 167²

I) a - b = 1 
-- a + b = 167 ---> a = 84 e b = 83 ---> Não serve pois c > a

II) a - b = 1
---a + b = 167² = 17889 ---> a = 8945 e b = 8944

III) a - b = 167
----a + b = 167² = 17889 ---> a = 9028 e b = 8921


São, portanto, duas soluções ---> b)

Élcio

A solução (I) não atende porque a (hipotenusa) < c (cateto).

Na solução (III) precisa corrigir o valor de b, que deve ser 167 menor que a.

Obrigado.

Medeiros

Já editei minha solução (em vermelho). Obrigado pelo alerta.

Francisco

fui pesquisar e estudar esta questão. Ela consiste basicamente em como gerar ternos pitagóricos e, no caso, já temos um dos termos fornecido.

E como se gera um terno pitagórico? Descobri que uma aplicacao dos números complexos fornece:

• Dados dois quaisquer números naturais (u,v), diferentes entre si e diferentes de zero, eles geram um terno pitagórico com os termos \{(u^2-v^2), (2uv), (u^2+v^2)\}, onde o terceiro termo, por ser o maior, evidentemente é a hipotenusa.
  

Experimente com (u, v) = (2, 1) e obterá o famoso triângulo {3, 4, 5}.

No caso desta questão foi dado que um dos catetos deve medir 167.
Então 167 NÃO é igual a (u²+v²) porque este é o maior termo e portanto a hipotenusa.
E 167 também NÃO é igual a (2uv) pois 167 é ímpar e este termo do terno é par (multiplicado por 2).
Portanto temos apenas a possibilidade de que 167 = u² - v².


u² - v² = 167
por sorte 167 é primo e sua fatoração fica simplificada, então
(u + v).(u - v) = 1×167
de onde
u + v = 167
u - v = 1
--------------------
2u = 168  ----->  u = 84  ----->  v = 83

e agora podemos gerar o terno pitagórico
1) u² - v² = 84² - 83² = 167 .................... o cateto pedido
2) 2uv = 2*84*83 = 13 944 ....................... o outro cateto
3) u² + v² = 84² + 83² = 13 945 ................. a hipotenusa

e, testando com o teorema de Pitágoras: 167² + 13 944² = 13 945²