Se tem uma pirâmide B-AMN

por Igor Kauan Souza da Mata Sáb 13 Jul 2019, 17:21

Ei, gente! Mais uma ai que não estou conseguindo fazer... Very Happy

Se tem uma pirâmide B-AMN, tal que BA é perpendicular a MN, BN = AN = 8 e BM = 5. Se AB é igual a seu maior valor inteiro par possível e MN é igual ao seu maior valor inteiro possível, calcule o volume da pirâmide.

R: $Se tem uma pirâmide B-AMN Gif$

por **mauk03** Ter 16 Jul 2019, 03:08

Se BA é perpendicular a MN e BN=AN=8, então AM=BM=5 (pois A e B estão no mesmo plano perpendicular a reta MN e, portanto, equidistam da reta MN).

No triângulo ABN, tem-se que ABNo triângulo ABM, tem-se que ABPortanto, o maior valor inteiro par possível para AB é 8.

Fazendo a mesma análise para os triângulos AMN e BMN, obtém-se que MN<13. Esse resultado é independente da variação de AB, porém não é suficiente para se determinar MN já que não envolve as situações em que B-AMN deixa de ser uma pirâmide (ou seja, os pontos A, B, M e N serem coplanares).

Para analisar o segmento MN conforme AB varia, consideremos o ponto médio de AB. Seja C=(A+B)/2, então AC=CB=4. No valor limite de MN o ponto C será ponto da reta MN (pois a medida que o segmento MN aumenta, a reta AB se aproxima da reta MN de modo a manter a BM=5 e BN=5). Logo, deve-se ter no triângulo MNC, MNAM²=MC²+AC² → MC=√(AM²-AC²)=√(5²-4²)=3
AN²=NC²+AC² → NC=√(AN²-AC²)=√(8²-4²)=4√3
MNPortanto, o maior valor inteiro possível para MN é 9.

Seja H um ponto do plano que contém a base ABN de forma que MH seja perpendicular a este plano, então o volume dessa pirâmide é dada por:
V=(1/3)(altura)(área da base)=(1/3)*h*S
onde h=MH e S=área de ABN.
(Observe que escolhi a altura relativa ao vértice M pois o triângulo ABN é equilátero de lado 8, e portanto facilitará consideravelmente nos cálculos.)

Como ABN é equilátero, então sua área é dada por:
S=(√3/4)(lado)²=(√3/4)AB²=(√3/4)8²=16√3

Como os triângulos MNH e MCH são retângulos em H, então:
MN²=NH²+MH² → NH=√(MN²-MH²)=√(9²-h²) (*)
MC²=CH²+MH² → CH=√(MC²-MH²)=√(3²-h²) (**)

Como NH menos CH é igual a altura do triângulo ABN e a altura de um triângulo equilátero é igual √3/2 vezes o lado, então:
NH-CH=(√3/2)AB=(√3/2)8=4√3 (***)

De (*) e (**) em (***):
√(9²-h²)-√(3²-h²)=4√3 → (√(9²-h²)-√(3²-h²))²=(4√3)²
→ 9²-h²+2√((9²-h²)(3²-h²))+3²-h²=48 → √((9²-h²)(3²-h²))=h²-21
→ (9²-h²)(3²-h²)=(h²-21)² → 27²-21²=48h² → h²=(27+21)(27-21)/48
→ h²=48*6/48=6 → h=√6

Logo, o volume da pirâmide é:
V=(1/3)*h*S=(1/3)*√6*16√3=16√2