EN - Polinômios
3 participantes
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
EN - Polinômios
por SanchesCM Dom 07 Jul 2019, 10:21
Se P(x) é um polinômio de terceiro grau tal que p(0)=-2; p(1)=3; p(2)=1 e p(3)=6, então o resto da divisão de p(x) por p(x-4) tem valor:
a) 36
b) 28
c) 12
d) 18
e) 32
**p(x)=ax³+bx²+cx+d
Como p(0)=-2, descobri que d=-2, após isso, usando os dados do problema, obtive um sistema 3x3, que deu uns valores bem quebrados para a,b e c. Ademais, pelo menos no meu livro aqui, ele quer a divisão de p(x) por p(x-4), e não pelo polinômio "x-4", então eu gostaria de saber, se não houver erro quanto ao enunciado, se há algum modo menos braçal de resolver.
a) 36
b) 28
c) 12
d) 18
e) 32
**p(x)=ax³+bx²+cx+d
Como p(0)=-2, descobri que d=-2, após isso, usando os dados do problema, obtive um sistema 3x3, que deu uns valores bem quebrados para a,b e c. Ademais, pelo menos no meu livro aqui, ele quer a divisão de p(x) por p(x-4), e não pelo polinômio "x-4", então eu gostaria de saber, se não houver erro quanto ao enunciado, se há algum modo menos braçal de resolver.
Última edição por SanchesCM em Dom 07 Jul 2019, 12:24, editado 1 vez(es)
SanchesCM- Jedi
- Mensagens : 434
Data de inscrição : 19/09/2016
Idade : 27
Localização : Curitiba, Paraná, Brasil.
Re: EN - Polinômios
por Elcioschin Dom 07 Jul 2019, 10:43
Existe um outro caminho, também trabalhoso:
P(x) = a.x³ + b.x² + c.x - 2
P(x - 4) = a.(x - 4)³ + b.(x - 4)² + c.(x - 4) - 2 ---> Desenvolvendo:
P(x - 4) = a.x³ + (b - 12.a).x² + (48.a - 8.b + c).x - 64.a + 16.b - 4.c - 2
Por favor, confira as contas.
Dividindo P(x) por p(x - 4), pelo método da chave, o quociente é 1.
Calculando o resto, obtém-se um polinômio do 2º grau.
Suponho que deve haver um jeito de relacionar este resto com as 3 equações que vc conseguiu.
P(x) = a.x³ + b.x² + c.x - 2
P(x - 4) = a.(x - 4)³ + b.(x - 4)² + c.(x - 4) - 2 ---> Desenvolvendo:
P(x - 4) = a.x³ + (b - 12.a).x² + (48.a - 8.b + c).x - 64.a + 16.b - 4.c - 2
Por favor, confira as contas.
Dividindo P(x) por p(x - 4), pelo método da chave, o quociente é 1.
Calculando o resto, obtém-se um polinômio do 2º grau.
Suponho que deve haver um jeito de relacionar este resto com as 3 equações que vc conseguiu.
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 73164
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 78
Localização : Santos/SP
Re: EN - Polinômios
por Vitor Ahcor Dom 07 Jul 2019, 11:58
Acredito que o enunciado esteja errado. O correto seria P(x)/(x-4). Ou seja, basta calcular P(4).
____________________________________________
Cha-la head-cha-la
Vitor Ahcor- Monitor
- Mensagens : 780
Data de inscrição : 21/12/2018
Idade : 24
Localização : Taurdal
Re: EN - Polinômios
por Vitor Ahcor Dom 07 Jul 2019, 12:13
Sejam os pontos (0;-2), (1;3), (2;1), (3;6). De acordo com o Polinômio interpolador de Lagrange, existe um único polinômio de grau 3 (ou menor) que passa por esses 4 pontos.
Calculando os coeficientes de Lagrange:
a1 = (x-1)*(x-2)*(x-3)/[(0-1)*(0-2)*(0-3)] = -(x-1)*(x-2)*(x-3)/6
a2 = (x-0)*(x-2)*(x-3)/[(1-0)*(1-2)*(1-3)] = x*(x-2)*(x-3)/2
a3 = (x-0)*(x-1)*(x-3)/[(2-1)*(2-1)*(2-3)] = -x*(x-1)*(x-3)/2
a4 = (x-0)*(x-1)*(x-2)/[(3-0)*(3-1)*(3-2)] = x*(x-1)*(x-2)/6
O polinômio Interpolador de Lagrange para tais pontos é:
P(x) = -2*a1 + 3*a2 + 1*a3 + 6*a4
P(x) = (x-1)*(x-2)*(x-3)/3 + 3/2*x*(x-2)*(x-3) - x*(x-1)*(x-3)/2 + x*(x-1)*(x-2)
Daí, é imediato que P(x)/(x-4) = P(4) = 32.
Calculando os coeficientes de Lagrange:
a1 = (x-1)*(x-2)*(x-3)/[(0-1)*(0-2)*(0-3)] = -(x-1)*(x-2)*(x-3)/6
a2 = (x-0)*(x-2)*(x-3)/[(1-0)*(1-2)*(1-3)] = x*(x-2)*(x-3)/2
a3 = (x-0)*(x-1)*(x-3)/[(2-1)*(2-1)*(2-3)] = -x*(x-1)*(x-3)/2
a4 = (x-0)*(x-1)*(x-2)/[(3-0)*(3-1)*(3-2)] = x*(x-1)*(x-2)/6
O polinômio Interpolador de Lagrange para tais pontos é:
P(x) = -2*a1 + 3*a2 + 1*a3 + 6*a4
P(x) = (x-1)*(x-2)*(x-3)/3 + 3/2*x*(x-2)*(x-3) - x*(x-1)*(x-3)/2 + x*(x-1)*(x-2)
Daí, é imediato que P(x)/(x-4) = P(4) = 32.
____________________________________________
Cha-la head-cha-la
Vitor Ahcor- Monitor
- Mensagens : 780
Data de inscrição : 21/12/2018
Idade : 24
Localização : Taurdal
SanchesCM- Jedi
- Mensagens : 434
Data de inscrição : 19/09/2016
Idade : 27
Localização : Curitiba, Paraná, Brasil.
Tópicos semelhantesPiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
