EN - Polinômios

Se P(x) é um polinômio de terceiro grau tal que p(0)=-2; p(1)=3; p(2)=1 e p(3)=6, então o resto da divisão de p(x) por p(x-4) tem valor:
a) 36
b) 28
c) 12
d) 18
e) 32

**p(x)=ax³+bx²+cx+d

Como p(0)=-2, descobri que d=-2, após isso, usando os dados do problema, obtive um sistema 3x3, que deu uns valores bem quebrados para a,b e c. Ademais, pelo menos no meu livro aqui, ele quer a divisão de p(x) por p(x-4), e não pelo polinômio "x-4", então eu gostaria de saber, se não houver erro quanto ao enunciado, se há algum modo menos braçal de resolver.

Existe um outro caminho, também trabalhoso:

P(x) = a.x³ + b.x² + c.x - 2

P(x - 4) = a.(x - 4)³ + b.(x - 4)² + c.(x - 4) - 2 ---> Desenvolvendo:

P(x - 4) = a.x³ + (b - 12.a).x² + (48.a - 8.b + c).x - 64.a + 16.b - 4.c - 2

Por favor, confira as contas.

Dividindo P(x) por p(x - 4), pelo método da chave, o quociente é 1.
Calculando o resto, obtém-se um polinômio do 2º grau.
Suponho que deve haver um jeito de relacionar este resto com as 3 equações que vc conseguiu.

Acredito que o enunciado esteja errado. O correto seria P(x)/(x-4). Ou seja, basta calcular P(4).

Sejam os pontos (0;-2), (1;3), (2;1), (3;6). De acordo com o Polinômio interpolador de Lagrange, existe um único polinômio de grau 3 (ou menor) que passa por esses 4 pontos.

Calculando os coeficientes de Lagrange:

a1 = (x-1)*(x-2)*(x-3)/[(0-1)*(0-2)*(0-3)] = -(x-1)*(x-2)*(x-3)/6

a2 = (x-0)*(x-2)*(x-3)/[(1-0)*(1-2)*(1-3)] = x*(x-2)*(x-3)/2

a3 = (x-0)*(x-1)*(x-3)/[(2-1)*(2-1)*(2-3)] = -x*(x-1)*(x-3)/2

a4 = (x-0)*(x-1)*(x-2)/[(3-0)*(3-1)*(3-2)] = x*(x-1)*(x-2)/6

O polinômio Interpolador de Lagrange para tais pontos é:

P(x) = -2*a1 + 3*a2 + 1*a3 + 6*a4
P(x) = (x-1)*(x-2)*(x-3)/3 + 3/2*x*(x-2)*(x-3) - x*(x-1)*(x-3)/2 + x*(x-1)*(x-2)

Daí, é imediato que P(x)/(x-4) = P(4) = 32.

Valeu mestre Elcio e Vitor!