Exercício de Engenharia - Física II - MHS

por Roberto Fisika2 eng Qui 27 Jun 2019, 23:02

Uma esfera homogênea de massa M e raio r rola sem deslizar em uma superfície semicircular de raio R. Assuma a aceleração da gravidade igual a g. O sistema passa a oscilar em torno da posição de equilíbrio, que corresponde ao ponto mais baixo da trajetória, executando MHS. Encontre a frequência de oscilação deste sistema, supondo pequenas oscilações, em função das variáveis dadas. (Não use a simplificação r<

Exercício de Engenharia - Física II - MHS Captur10

por renan2014 Sáb 20 Jul 2019, 00:12

Exercício de Engenharia - Física II - MHS EAPdUcr

Desse modo, temos:

F_{res}=P.sen(\theta)=P.(x/R-r)=P/(R-r)*x

f=\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\frac{mg}{R-r}}{m}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{R-r}}

por **Vitor Ahcor** Sáb 20 Jul 2019, 10:10

Outra forma:

-Psen\Theta θ = F_r

-gsen\Theta = \ddot{\Theta } \times (R-r)

Para \Theta pequeno:

\ddot{\Theta } + \frac{g}{R-r}\times \Theta = 0

\therefore \dot{\Theta } = \sqrt{\frac{g}{R-r}} \Rightarrow f= \frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{R-r}}.

por **Vitor Ahcor** Sáb 20 Jul 2019, 11:03

Pensando melhor, acho que deveríamos levar em consideração o momento de inércia da esfera...

Utilizando a Segunda Lei de Newton para as rotações:

\tau _ r = I\times \alpha \Rightarrow -Psen\Theta \times (R-r) = I\times \ddot{\Theta }

Para uma esfera maciça: I = \frac{2}{5}\times m\times r'^{2}

Para θ pequeno: senθ ≈ θ, daí:

-Mg\times \Theta \times (R-r) = \frac{2}{5}\times M\times (R-r)^{2}\times \ddot{\Theta }

\ddot{\Theta } + \frac{5g}{2\times (R-r)}\times \Theta = 0 \therefore \dot{\Theta } = \sqrt{\frac{5g}{2\times (R-r)}} \Rightarrow f = \frac{1}{2\pi }\times \sqrt{\frac{5g}{2\times (R-r)}}

Por favor, alguém poderia confirmar a resolução?

por renan2014 Sáb 20 Jul 2019, 13:52

Resolução tá quase correta, tem que usar o teorema dos eixos paralelos para trazer o eixo de rotação para o ponto de tangência e mudar para o I correto. Só isso mesmo