Inequações produto

por Chillinzao Qui 20 Jun 2019, 23:14

(x+6)^7 . (6x-2)^4 . (4x + 5)^10 menor ou igual a 0

Alguém pode me explicar como resolvo esta inequação? Li toda teoria, resolvi os exercícios anteriores, vi o gabarito e mesmo assim não consigo ter uma mínima noção.

por **Elcioschin** Qui 20 Jun 2019, 23:33

Sua postagem está em desacordo com duas Regras do fórum:

Regra VI: só é permitida uma questão por postagem. Além disso, quem sabe fazer uma faz todas.

Regra IX: o texto do enunciado deve ser digitado.

EDITe sua mensagem original, corrigindo as falhas
E, por favor leia/siga todas as nossas Regras (no alto desta página)!

por Chillinzao Qui 20 Jun 2019, 23:45

Elcioschin escreveu:Sua postagem está em desacordo com duas Regras do fórum:

Regra VI: só é permitida uma questão por postagem. Além disso, quem sabe fazer uma faz todas.

Regra IX: o texto do enunciado deve ser digitado.

EDITe sua mensagem original, corrigindo as falhas
E, por favor leia/siga todas as nossas Regras (no alto desta página)!

Feito.

por **mauk03** Qui 20 Jun 2019, 23:49

Quando vc tem uma expressão do tipo (ax + b)^n com x∈ℝ, a e b constantes reais e n um inteiro, tem-se que:
1) Para n par (ax + b)^n é positivo para todo x∈ℝ
2) Para n ímpar (ax + b)^n é positivo para ax + b > 0 e negativo para ax + b < 0

Resolvendo a letra b) como exemplo:
(3x + 1)^3.(2 - 5x)^5.(x + 4)^8 > 0
(3x + 1 > 0 e 2 - 5x > 0) ou (3x + 1 < 0 e 2 - 5x < 0)
--> (x > -1/3 e x < 2/5) ou (x < -1/3 e x > 2/5) (intervalo vazio)
.:. S = ]-1/3, 2/5[

Observe que a parcela (x + 4)^8 não foi levada em conta no cálculo do intervalo de x pois (x + 4) está elevado a um número par.

por Chillinzao Sex 21 Jun 2019, 00:10

mauk03 escreveu:Quando vc tem uma expressão do tipo (ax + b)^n com x∈ℝ, a e b constantes reais e n um inteiro, tem-se que:
1) Para n par (ax + b)^n é positivo para todo x∈ℝ
2) Para n ímpar (ax + b)^n é positivo para ax + b > 0 e negativo para ax + b < 0

Resolvendo a letra b) como exemplo:
(3x + 1)^3.(2 - 5x)^5.(x + 4)^8 > 0
(3x + 1 > 0 e 2 - 5x > 0) ou (3x + 1 < 0 e 2 - 5x < 0)
--> (x > -1/3 e x < 2/5) ou (x < -1/3 e x > 2/5) (intervalo vazio)
.:. S = ]-1/3, 2/5[

Observe que a parcela (x + 4)^8 não foi levada em conta no cálculo do intervalo de x pois (x + 4) está elevado a um número par.

Obrigado.
Mas e se caso eu quisesse recorrer ao quadro de sinais?

por papairock Sex 21 Jun 2019, 00:52

(x+6)^7 . (6x-2)^4 . (4x + 5)^10 =<0
Pontos que zeram (raízes).
Da esquerda para a direita temos.
x= -6 (multiplicidade ímpar) ; x= 1/3 (multiplicidade par) ; x= -5/4
(multiplicidade par).

-------- (-6) ++++(-5/4) ++++(1/3)++++

(Intervalos todos fechados, devido ao sinal de igual que inclui as raízes. Além disso, não temos pontos de descontinuidade)
1° passo: ver se as operações entre as incógnitas (X) resultará em um valor positivo ou negativo.
Neste caso resulta em um valor positivo. [(+x).(+6x).(+4x)] sinais positivos.
2° passo definir da direita para a esquerda os sinais ante e após as raízes. Lembrando que ao passar por uma raíz de multiplicidade par, o sinal irá se manter (se repetir). Você começará com o sinal relativo ás operações (no caso, um produto) entre as incógnitas.

Como a questão pede como solução a parte menor ou igual, temos como solução: S={x=<(-6)}.

Poste o gabarito da próxima vez, e vá de acordo com as regras do fórum!

por Chillinzao Sex 21 Jun 2019, 01:05

papairock escreveu:(x+6)^7 . (6x-2)^4 . (4x + 5)^10 =<0
Pontos que zeram (raízes).
Da esquerda para a direita temos.
x= -6 (multiplicidade ímpar) ; x= 1/3 (multiplicidade par) ; x= -5/4
(multiplicidade par).

-------- (-6) ++++(-5/4) ++++(1/3)++++

(Intervalos todos fechados, devido ao sinal de igual que inclui as raízes. Além disso, não temos pontos de descontinuidade)
1° passo: ver se as operações entre as incógnitas (X) resultará em um valor positivo ou negativo.
Neste caso resulta em um valor positivo. [(+x).(+6x).(+4x)] sinais positivos.
2° passo definir da direita para a esquerda os sinais ante e após as raízes. Lembrando que ao passar por uma raíz de multiplicidade par, o sinal irá se manter (se repetir). Você começará com o sinal relativo ás operações (no caso, um produto) entre as incógnitas.

Como a questão pede como solução a parte menor ou igual, temos como solução: S={x=<(-6)}.

Poste o gabarito da próxima vez, e vá de acordo com as regras do fórum!

Muito obrigado.
Eu também pensei que a solução seria essa após muito tempo de raciocínio, porém, no gabarito, infelizmente está assinalado S={ x ∈ ℝ | x =< -6 ou x = 1/3 ou x = -5/4.}
E isso me deixou com uma pulga atrás da orelha.

por **mauk03** Sex 21 Jun 2019, 01:15

Chillinzao escreveu:
papairock escreveu:(x+6)^7 . (6x-2)^4 . (4x + 5)^10 =<0
Pontos que zeram (raízes).
Da esquerda para a direita temos.
x= -6 (multiplicidade ímpar) ; x= 1/3 (multiplicidade par) ; x= -5/4
(multiplicidade par).

-------- (-6) ++++(-5/4) ++++(1/3)++++

(Intervalos todos fechados, devido ao sinal de igual que inclui as raízes. Além disso, não temos pontos de descontinuidade)
1° passo: ver se as operações entre as incógnitas (X) resultará em um valor positivo ou negativo.
Neste caso resulta em um valor positivo. [(+x).(+6x).(+4x)] sinais positivos.
2° passo definir da direita para a esquerda os sinais ante e após as raízes. Lembrando que ao passar por uma raíz de multiplicidade par, o sinal irá se manter (se repetir). Você começará com o sinal relativo ás operações (no caso, um produto) entre as incógnitas.

Como a questão pede como solução a parte menor ou igual, temos como solução: S={x=<(-6)}.

Poste o gabarito da próxima vez, e vá de acordo com as regras do fórum!
Muito obrigado.
Eu também pensei que a solução seria essa após muito tempo de raciocínio, porém, no gabarito, infelizmente está assinalado S={ x ∈ ℝ | x =< -6 ou x = 1/3 ou x = -5/4.}
E isso me deixou com uma pulga atrás da orelha.

Como a inequação é com menor ou IGUAL e as parcelas (6x-2)^4 e (4x + 5)^10 podem ser iguais a zero para x = 1/3 e x = -5/4, então esses dois valores fazem parte da solução também.

por papairock Sex 21 Jun 2019, 01:25

Isso mesmo mauk03!
Me esqueci de incluí-las.
Obrigado!

por Chillinzao Sex 21 Jun 2019, 23:14

Voltando ainda neste assunto, ainda me restou uma dúvida na inequação:
(5x + 4)^4 . (7x - 2)^3 >= 0

Na minha cabeça a solução seria: x >= 2/7 ou x = -4/5.
Mas no gabarito do livro diz outra coisa: x>= 2/7

Por que nesse caso não incluiu o -4/5 sendo que no enunciado está marcado maior OU IGUAL e nos outros exercícios desse tipo foram incluídas essas raízes?