Produto de cosseno em P.A

por SnoopLy Seg 27 maio 2019, 22:06

Existe uma forma fechada pra \cos(x)\cdot \cos(x+r)\cdot \cos(x+2r)\cdot...\cdot\cos(x+(n-1)r)? Se sim, como demonstrar?

por **Giovana Martins** Seg 27 maio 2019, 22:41

Tem sim. A fórmula fechada é dada por:

\sum_{k=1}^{n} cos[x+(k-1)r]=\frac{sen\left ( \frac{nr}{2} \right )}{sen\left ( \frac{r}{2} \right )}cos\left [ x+\frac{(n-1)}{2}r \right ]

Eu não me lembro agora como que se demonstra esta relação, mas tenho anotado em alguns resumos que eu fiz. Irei procurar.

O que eu me lembro é o seguinte: o primeiro passo é multiplicar os dois lados da equação (chame de S o somatório) por

2sen\left ( \frac{r}{2} \right )

Mas, a gente sabe que:

2sen\left ( \frac{r}{2} \right )cos(x)=sen\left ( x+\frac{r}{2} \right )-sen\left ( x-\frac{r}{2} \right )

Daí é só expandir de forma análoga para cada caso que as parcelas vão se cancelando e daí você chega na fórmula fechada (se eu não me engano, na última conta, é só usar Prostaferese).

Nota: a versão em soma de senos para este caso é a mesma coisa.

por **Giovana Martins** Seg 27 maio 2019, 22:43

Optei por mudar a postagem para a seção de trigonometria, pois a questão é essencialmente sobre esse assunto.

por SnoopLy Ter 28 maio 2019, 08:13

Olá, Giovana

Eu tinha optado postar em álgebra pois normalmente esse tipo de questão é feita por complexos

Eu acho que você se confundiu, a ideia seria sobre o produtório em P.A ao invés do somatório

por **Giovana Martins** Qua 29 maio 2019, 18:49

Puxa vida, eu juro que eu tinha visto um somatório Embarassed

. Me perdoe.

Vou ser sincera com você, eu não irei me dispor a tentar resolver este problema agora porque eu estou sem tempo. Muito provavelmente eu logarei novamente somente na semana que vem. Me perdoe.

Se alguém quiser tentar, sem problemas.

Só para não te deixar a ver navios, procure pelas revistas Eureka da OBM. Se eu não me engano, na revista 27 (ou 37 - espero ser uma das duas) tem uma questão do IMO que propõe a demonstração de um produtório de cossenos cujos argumentos estão em P.A..

por SnoopLy Qua 29 maio 2019, 20:44

Sem problemas, hahaha

Eu procurei sobre a questão que você falou, eu já tinha visto ela antes enquanto estava procurando sobre questões semelhantes, mas acaba que ela é um pouco diferente dessa que eu mandei. Tentei usar a mesma ideia nessa minha questão , mas não deu mt certo

por **Giovana Martins** Sex 31 maio 2019, 16:42

Vou tentar mexer nesta questão mais tarde. Hoje mesmo dou um retorno se deram certo ou não as minha tentativas.

por **Giovana Martins** Sex 31 maio 2019, 23:00

SnoopLy, passei esse tempo tentando resolver a questão, mas, honestamente, não consegui generalizar. Vou dar uma pesquisada em alguns fóruns para ver se eu acho algo. Me perdoe Embarassed

.

por **Medeiros** Sáb 01 Jun 2019, 00:01

É impressionante a dedicação e o coleguismo da Giovanna!!
Apenas uma única vez, nos meus longínquos tempos de carteira escolar, vi igual num professor.

por SnoopLy Sáb 01 Jun 2019, 00:20

Giovana Martins escreveu:SnoopLy, passei esse tempo tentando resolver a questão, mas, honestamente, não consegui generalizar. Vou dar uma pesquisada em alguns fóruns para ver se eu acho algo. Me perdoe .

Sem problemas, tentei ver com um cara que manja muito de complexos, mas também não saiu nada. De qualquer forma, acho que o problema não tem solução sem mais informações dadas. Não precisa se preocupar com isso, até pq foi uma questão que eu apenas pensei se poderia ter resolução ou não. Obrigado.