Desafio Matemática - Área Triângulo

Na minha sala de aula foi proposto esse desafio, não foi dado o gabarito, se alguém puder me explicar como resolver essa questão...

Dado que o triângulo ABG tem área 36u.a, determine a área da parte vermelha.







Eu sei que existe um teorema que diz que quando retas saem de um vértice e divide o lado oposto em segmentos  iguais, as área da figura formada serão a iguais (Se alguém puder explicar se é isso mesmo, não tenho certeza). Então penso que a área de ADE será 36/5, e área de BIJ será 36/4. Mas como chegar na área do vermelho não sei...

Obviamente, a solução independe da forma do triângulo, depende apenas da área S = 36

Vou considerar um triângulo retângulo isósceles com AG = BG = 6.√2 e AB = 12 ---> S = 36

Seja B a origem de um sistema de coordenadas B(0, 0), com G(6.√2, 0) e A(6.√2, 6.√2)

BC = CD = DE = EF = FG = x = 6.√2/5 ---> GH = HI = HJ = JA = y = 3.√2/2

D(12.√2/5, 0) ; E(18.√2/5, 0) ; I(6.√2, 3.√2/2) ; J(6.√2, 9.√2/2)

Determine as equações das retas AD , AE , BI , BJ

Determine os pontos de interseção:

P de AD com BI 
Q de AE com BI
R de AE com BJ
S de AD com BJ

O quadrilátero PQRS pode ser dividido em dois triângulos, por exemplo PQR e PSR

Calcule a área de cada triângulo e some.

Considere o ponto W sendo o vértice mais acima do quadrilátero vermelho, coloquei no lugar errado, ai parece que Z e W simbolizam o mesmo vértice.

Uma outra forma.

Pegue por exemplo aquele triângulo ABC da direita, a área do triângulo ABD é igual a [ABD] = (BD).h/2, h é a altura do triângulo ABD, a área do triângulo ACD é igual a [ACD] = (DC).h/2, perceba que a altura dos dois são iguais, dividindo as áreas, iremos encontrar que [ACD]/[ABD] = (DC)/(BD), dai você tira uma relação entre as áreas com as bases. Usando essa relação no triângulo da esquerda, você vê que [ABC] = [ACD] = ... = [AFG], pois as bases deles tem o mesmo tamanho, e a altura é a mesma.

A minha ideia pra achar a área em vermelho, primeiro eu encontro a área do triângulo BXY e a área do quadrilátero JWZI, dai a área em vermelho é igual a área de BJI menos a área de BXY menos a de JWZI, pode ter uma forma mais rápida de fazer, mas infelizmente eu só encontro as mais demoradas...
Já tracei as retas que irão nos ajudar ali.

Irei fazer a ideia para o primeiro, ai depois tente completar os cálculos:

Considere os triângulos BYD e DYG, usando a relação mostrada acima, você encontra que [BYD] = 2a e [DYG] = 3a, agora para os triângulos AYI e IYG você tem que [AYI] = [IYG] = b, portanto:

2a + 3a + b = 5a + b =  2.36/4
b + b + 3a = 3a + 2b = 3.36/5

Portanto a = 108/35, se eu não errei conta, portanto [BYD] = 216/35

Fazendo para BXD e GXD e depois para AXJ e JXG você irá encontrar a área do BXD, dai você terá que [BXY] = [BXD] - [BYD], dai você encontra a área de [BXY].

Depois faça para AWJ e JWG e depois para BWE e EWG e encontre a área de AWJ, depois faça para AZI e IZG e depois para AZE e EZG e encontre a área de AWI, dessa forma você encontra a área de JWZI, [JWZI] = [AZI] - [AWJ].

Após isso, você encontra que a área vermelha (X) é igual a X = [JBI] - [JWZI] - [BXY].

Eu faria dessa forma, pode haver outra maneira, mas por enquanto só enxerguei essa.

Acreditava que a resolução seria bem mais simples, meu professor falou que era difícil de perceber, mas que com 2 linhas de calculo seria possível resolver.

Não seria possível análisar se as área divídias dentro do triângulo ADE seriam iguais ?


Muito obrigado aos dois mestres pelo tempo, entendi perfeitamente a resolução de ambos.

Putz, duas linhas? Ai me quebra kkkk, vou pensar mais depois, eu nunca encontro a solução mais rápida, infelizmente sempre a mais demorada...

fantecele escreveu:Putz, duas linhas? Ai me quebra kkkk, vou pensar mais depois, eu nunca encontro a solução mais rápida, infelizmente sempre a mais demorada...

Se eu conseguir essa resolução, vou postar aqui no fórum

Já tem duas soluções ortodoxas e eficazes, a do Élcio e a do Fantecele. Andei quebrando a cabeça para achar uma outra bem simplesinha e curta -- ainda mais que a prometeram em duas linhas -- mas não consegui nada. A única coisa que me veio à mente foi usar o Teorema de Pick e, apesar de que acho um pouco infantil ficar contando pontinhos, isso permitiu-me chegar facilmente a um valor numérico.

Pelo Teorema de Pick colocamos a figura numa malha regular de pontos e os contamos:
i = pontos internos à figura;
b = pontos na borda da figura.
A área da figura, em unidades de área, é dada pela fórmula ---->  A = i + b/2 - 1



Então nessa unidade (os pontinhos), calculei, à direita da figura, a área do triângulo ABG (A₁) e a área assinalada (A₂). Como a área do triângulo é dada (36), uma regra de três forneceu a área assinalada (S').

problema
o teorema exige que os vértices da figura estejam sobre um ponto da grade. Embora isso tenha sido feito para o triângulo, não o consegui fazer, dentro da mesma grade, para o quadrilátero assinalado. Por este motivo considero haver imprecisão no valor da área assinalada; assim o número obtido serve apenas de estimativa.

O engraçado é que podemos obter esse mesmo número simplesmente fazendo ---> 36/(5*4)

Fico ansioso em ver a solução rápida prometida pelo professor do Guilherme.

Medeiros escreveu:Já tem duas soluções ortodoxas e eficazes, a do Élcio e a do Fantecele. Andei quebrando a cabeça para achar uma outra bem simplesinha e curta -- ainda mais que a prometeram em duas linhas -- mas não consegui nada. A única coisa que me veio à mente foi usar o Teorema de Pick e, apesar de que acho um pouco infantil ficar contando pontinhos, isso permitiu-me chegar facilmente a um valor numérico.

Pelo Teorema de Pick colocamos a figura numa malha regular de pontos e os contamos:
i = pontos internos à figura;
b = pontos na borda da figura.
A área da figura, em unidades de área, é dada pela fórmula ---->  A = i + b/2 - 1



Então nessa unidade (os pontinhos), calculei, à direita da figura, a área do triângulo ABG (A₁) e a área assinalada (A₂). Como a área do triângulo é dada (36), uma regra de três forneceu a área assinalada (S').

problema
o teorema exige que os vértices da figura estejam sobre um ponto da grade. Embora isso tenha sido feito para o triângulo, não o consegui fazer, dentro da mesma grade, para o quadrilátero assinalado. Por este motivo considero haver imprecisão no valor da área assinalada; assim o número obtido serve apenas de estimativa.

O engraçado é que podemos obter esse mesmo número simplesmente fazendo ---> 36/(5*4)

Fico ansioso em ver a solução rápida prometida pelo professor do Guilherme.

Medeiros,
Não consegui compreender muito bem o teorema que você apresentou.
Você utilizou, no quadrilátero, i=1 e b=4 , entretanto, existem mais pontos internos ao quadrilátero, e na borda dele. Poderia explicar isso ?

Guilherme

os pontos que valem são apenas os cruzamentos da malha. Cada quadradinho da malha é uma unidade de área.

Infelizmente as retas da malha são feitas de pontinhos ao invés de linhas contínuas (é o que eu tinha disponível), por isso a sua confusão.

Cá entre nós, acho muito baixo esse valor 1,8 obtido. Umas outras contas que andei fazendo (porém sem quaisquer embasamento geometrico) apontam para essa região específica algo em torno de 2,23 a 2,7.

Medeiros,

Você disse no seu post anterior: "O engraçado é que podemos obter esse mesmo número simplesmente fazendo ---> 36/(5*4)", acha que isso tem algo relacionado com uma resolução rápida, ou apenas uma coincidência ?