Aref Trigonometria lll.23

por Rogerio Chlorine Qua 24 Abr 2019, 22:45

Transforme em produto a expressão sen a + sen b + sen c, sabendo que a, b e c são ângulos internos de um triângulo.

por GBRezende Qua 24 Abr 2019, 23:08

a+b+c=\pi \\ sen(a+b)=sen(\pi-c) \\ sen(a+b)=sen(c) \\ sen(a)+sen(b)+sen(c)= \\ 2sen(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2})+sen(a+b) = \\ 2sen(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2})+sen(2*\frac{a+b}{2}) = \\ 2sen(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2})+2sen(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a+b}{2}) = \\ 2sen(\frac{a+b}{2})(cos(\frac{a+b}{2})+cos(\frac{a-b}{2}))= \\ 2(sen\frac{a+b}{2})(2cos(\frac{\frac{a+b+a-b}{2}}{2})cos(\frac{\frac{a+b-a+b}{2}}{2}))= \\ 4sen(\frac{a+b}{2})cos\frac{a}{2}cos\frac{b}{2}
Temos, também, que (a+b)/2 = (pi-c)/2, portanto:
4sen(\frac{a+b}{2})cos\frac{a}{2}cos\frac{b}{2} = \\ 4sen(\frac{\pi-c}{2})cos(\frac{a}{2})cos(\frac{b}{2})= \\ 4(sen(\frac{\pi}{2})cos(\frac{c}{2})-sen\frac{c}{2}cos(\frac{\pi}{2}))cos(\frac{a}{2})cos(\frac{b}{2}) = \\ 4cos(\frac{c}{2})cos(\frac{a}{2})cos(\frac{b}{2})
E por favor, sempre poste o gabarito se você o tem! É uma das regras do fórum!

por marcosprb Qua 24 Abr 2019, 23:24

O gabarito aqui no livro está assim
4cos\frac{a}{2}cos\frac{b}{2}cos\frac{c}{2}

por Rogerio Chlorine Qua 24 Abr 2019, 23:28

o Gabarito diz que é 4cos a/2*b/2*c/2. Entretando, fiquei meio curioso. Se não for incomodo, eu gostaria de saber o que tu fez:

Poderia me explicar como chegou a isso?

Edit: Ah sim, ja entendi.

por GBRezende Qua 24 Abr 2019, 23:40

Rogerio Chlorine escreveu:o Gabarito diz que é 4cos a/2*b/2*c/2. Entretando, fiquei meio curioso. Se não for incomodo, eu gostaria de saber o que tu fez:

Poderia me explicar como chegou a isso?

Seja (a+b)/2=x
sen(2*x)=2senxcosx = 2sen((a+b)/2)cos((a+b)/2)
Você pode sempre abrir um valor como o dobro de seu arco metade:
senx = 2sen(x/2)cos(x/2). Foi o que eu fiz.

Enfim. Já vi onde errei! Esqueci de dividir por 2 quando abri cos((a+b)/2)+cos((a-b)/2). Irei editar, só um segundo.