Resto da divisão [3]

por **JoaoGabriel** Sáb 23 Jul 2011, 10:11

Calcular o resto da divisão do inteiro
( 7^100 + 11^100 ) por 13.

por **Euclides** Sáb 23 Jul 2011, 18:25

Não sou muito versado nesse assunto. O pessoal verifica.

$\\7^3\equiv 5(mod13)\\7^{100}=(7^3)^{33}.7\equiv (5)^{33}.7(mod13)\\\\5^4\equiv 1(mod13)\\\\7^{100}\equiv (5^4)^8.5.7(mod13)\\7^{100}\equiv 35(mod13)\\\\35\equiv 9(mod13)\\7^{100}\equiv 9(mod13)$

$\\11^2\equiv 4(mod13)\\11^{100}=(11^2)^{50}\equiv (4)^{50}(mod13)\\\\4^2\equiv 3(mod13)\\\\11^{100}\equiv (4^2)^{25}(mod13)\\11^{100}\equiv (3)^{25}(mod13)\\\\3^3\equiv 1(mod13)\\\\11^{100}\equiv (3^3)^8.3(mod13)\\11^{100}\equiv 3(mod13)$

$\\7^{100}+11^{100}\equiv 9+3 (mod13)\\\boldsymbol{7^{100}+11^{100}\equiv 12(mod13)}$