Questão sobre números racionais.

Mostre que, se r1 e r2 são racionais e r1 < r2, então existe um racional r tal que r1 < r < r2.


Eu sinto que a questão não é difícil, embora não tenha eu a interpretado corretamente.

[Resolução do yahoo respostas]

Sejam r1 e r2 dois racionais qualquer. O número racional r = (r1+r2)/2 verifica que

r1 < r < r2

r1 < (r1+r2)/2 < r2

Em efeito,

a)
2r1 = r1+r1 < r1+r2 (pois r2>r1)

Logo r1 < (r1+r2)/2

b)
r1+r2 < r2+r2 = 2r2

Logo (r1+r2)/2 < r2

Alguem sabe alguma outra forma de resolver alem da apresentada ?

Rapaz, fiz meio que na marra aqui.

(r1+r2)/2 = r => 2r = r1+r2

(r1+r2)/2 > r1 => 2r1 < r1+r2

(r1+r2)/2 < r2 => 2r2 > r1+r2

Comparando temos :

2r1 < r1 + r2 < 2r2   (dividindo por 2)

r1 < (r1 + r2)/2 < r2 ((r1 + r2)/2 = r)

r1 < r < r2

por que vocês estão somando R1 e R2 e dividindo o resultado por 2??

Dimas escreveu:Mostre que, se r1 e r2 são racionais e r1 < r2, então existe um racional r tal que r1 < r < r2.


Eu sinto que a questão não é difícil, embora não tenha eu a interpretado corretamente.

Os colegas acima resolveram de uma maneira brilhante. Não resolvi de maneira tão formal quanto eles, mas gostaria de compartilhar com vocês minha demonstração.

Tome:
r1 = (a-1)/b ; r2 = a/b e r =  x/b
Onde: a,b e x ∈ ℤ, e também, r1 < r2.
r1 < r < r2 ⇔ (a-1)/b < x/b < a/b
Multiplicando todos os membros por dois:
(2a-2)/b < 2x/b < 2a/b
Note que: (2a-2), (2x) e (2a) ∈ ℤ.
Perceba que: Entre (2a-2) e (2a) existe um único número inteiro. Ele é o número (2a-1).
--------------------(2a-2)---------------------(2x)------------------------(2a)--------
--------------------(2a-2)---------------------(2a-1)----------------------(2a)--------
Então (2x) = (2a-1), o que verifica a inequação:
(2a-2)/b < (2a-1)/b < 2a/b
c.q.d 

Para "mostrar na prática" e de maneira mais simplista:
r1 = 1/4 ; r2 = 2/4 e r = x/4
Onde: x ∈ ℤ.
r1 < r < r2 ⇔ 1/4 < x/4 < 2/4
Multiplicando todos os membros por dois:
2/4 < 2x/4 < 4/4
Perceba que: Entre 2 e 4 existe um único número inteiro. Ele é o número 3.
--------------------2------------------(2x)-----------------------4-----------
--------------------2---------------------3-----------------------4-----------
Então (2x) = 3, o que verifica a inequação:
2/4 < 3/4 < 4/4
Note também que: Poderíamos repetir este processo -  multiplicar por dois e encontrar um inteiro entre os dois valores - infinitas vezes.

No manual para professores do Iezzi, ele demonstra essa questão por média aritmética. É beeeem mais formal, e é uma demonstração beeeeeeem "mais forte", porém acredito que isso aqui já esteja de ótimo tamanho. 

FirmusBellus escreveu:

Dimas escreveu:Mostre que, se r1 e r2 são racionais e r1 < r2, então existe um racional r tal que r1 < r < r2.


Eu sinto que a questão não é difícil, embora não tenha eu a interpretado corretamente.

Os colegas acima resolveram de uma maneira brilhante. Não resolvi de maneira tão formal quanto eles, mas gostaria de compartilhar com vocês minha demonstração.

Tome:
r1 = (a-1)/b ; r2 = a/b e r =  x/b
Onde: a,b e x ∈ ℤ, e também, r1 < r2.
r1 < r < r2 ⇔ (a-1)/b < x/b < a/b
Multiplicando todos os membros por dois:
(2a-2)/b < 2x/b < 2a/b
Note que: (2a-2), (2x) e (2a) ∈ ℤ.
Perceba que: Entre (2a-2) e (2a) existe um único número inteiro. Ele é o número (2a-1).
--------------------(2a-2)---------------------(2x)------------------------(2a)--------
--------------------(2a-2)---------------------(2a-1)----------------------(2a)--------
Então (2x) = (2a-1), o que verifica a inequação:
(2a-2)/b < (2a-1)/b < 2a/b
c.q.d 

Para "mostrar na prática" e de maneira mais simplista:
r1 = 1/4 ; r2 = 2/4 e r = x/4
Onde: x ∈ ℤ.
r1 < r < r2 ⇔ 1/4 < x/4 < 2/4
Multiplicando todos os membros por dois:
2/4 < 2x/4 < 4/4
Perceba que: Entre 2 e 4 existe um único número inteiro. Ele é o número 3.
--------------------2------------------(2x)-----------------------4-----------
--------------------2---------------------3-----------------------4-----------
Então (2x) = 3, o que verifica a inequação:
2/4 < 3/4 < 4/4
Note também que: Poderíamos repetir este processo -  multiplicar por dois e encontrar um inteiro entre os dois valores - infinitas vezes.

No manual para professores do Iezzi, ele demonstra essa questão por média aritmética. É beeeem mais formal, e é uma demonstração beeeeeeem "mais forte", porém acredito que isso aqui já esteja de ótimo tamanho. 

Excelente e também muito criativa demonstração.