Questão de sequências, números racionais

por Kulo Seg 08 Fev 2016, 17:19

Na sequência definida pelo termo geral a_n = raiz cúbica de (n - 1), com 1 =< n =< 65, quantos termos são números racionais?

Gabarito: 5 termos

por **gilberto97** Seg 08 Fev 2016, 17:30

Olá Kulo.

Se an = raiz cúbica de (n-1), para an ser racional, n-1 deve ser um cubo perfeito, ou seja, n - 1 = k³, onde k é inteiro. Vamos analisar os valores de k:

1³ = 1
2³ = 8
3³ = 27
4³ = 64

Para n = 1, an = 0, logo é racional.
Para n = 2, an = 1, logo é racional.
Para n = 9, an = 2, logo é racional.
Para n = 28, an = 3, logo é racional.
Para n = 65, an = 4, logo é racional.

Como chegamos ao limite dos possíveis valores de n, paramos aqui.

por Matemathiago Seg 08 Fev 2016, 17:36

Basta observar os "cubos perfeitos"

0,1,8,27,64

Atribuindo valores inteiros maiores ou iguais a 1, para x, na função (x-1)³.

por Kulo Seg 08 Fev 2016, 17:45

gilberto97 escreveu:Olá Kulo.

Se an = raiz cúbica de (n-1), para an ser racional, n-1 deve ser um cubo perfeito, ou seja, n - 1 = k³, onde k é inteiro. Vamos analisar os valores de k:

1³ = 1
2³ = 8
3³ = 27
4³ = 64

Para n = 1, an = 0, logo é racional.
Para n = 2, an = 1, logo é racional.
Para n = 9, an = 2, logo é racional.
Para n = 28, an = 3, logo é racional.
Para n = 65, an = 4, logo é racional.

Como chegamos ao limite dos possíveis valores de n, paramos aqui.

Entendi. Então só dá pra resolver testando os valores?