transformação trigonométrica

por dibasi Qui 14 Fev 2019, 11:05

A expressão: senx.cosx.cos2x.cos4x.cos8x.cos16x.cos32x é equivalente a:

resposta: N=cos64x

por **Giovana Martins** Qui 14 Fev 2019, 12:28

Cheguei em uma expressão diferente da que você postou como certa. Segundo o Wolfram a minha resposta está certa.

\\sen(x)=2sen\left ( \frac{x}{2} \right )cos\left ( \frac{x}{2} \right )\\\\sen(x)=2.2sen\left ( \frac{x}{4} \right )cos\left ( \frac{x}{4} \right )cos\left ( \frac{x}{2} \right )\\\\sen(x)=2.2.2sen\left ( \frac{x}{8} \right )cos\left ( \frac{x}{8} \right )cos\left ( \frac{x}{4} \right )cos\left ( \frac{x}{2} \right )\\\\sen(x)=2^nsen\left ( \frac{x}{2^n} \right )cos\left ( \frac{x}{2^n} \right ).......cos\left ( \frac{x}{8} \right )cos\left ( \frac{x}{4} \right )cos\left ( \frac{x}{2} \right )\\\\\therefore \ cos\left ( \frac{x}{2^n} \right ).......cos\left ( \frac{x}{8} \right )cos\left ( \frac{x}{4} \right )cos\left ( \frac{x}{2} \right )=\frac{sen(x)}{2^nsen\left ( \frac{x}{2^n} \right )}\\\\x=2^ny:\ cos(y)cos(2y)cos(4y).......cos(2^{n-1}y)=\frac{sen(2^ny)}{2^nsen(y)},n\in \mathbb{Z}_{+}

Daí, vem:

\\cos(y)cos(2y)cos(4y)....cos(32y)=\frac{sen(2^6y)}{2^6sen(y)}=\frac{sen(64y)}{64sen(y)}\\\\\therefore \ sen(y)cos(y)cos(2y)cos(4y)....cos(32y)=\frac{sen(y)sen(64y)}{64sen(y)}\\\\\boxed {sen(y)cos(y)cos(2y)cos(4y)....cos(32y)=\frac{1}{64}sen(64y)}

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