Funções compostas

por Robson Ceratti Sex 25 Jan 2019, 19:16

Prove que {(g \circ f )^{-1}}=f^{-1} \circ g^{-1}

por **Giovana Martins** Sex 25 Jan 2019, 20:34

~~Fiz alguns esboços (ainda estão incompletos, porque eu ainda não sei terminar) por aqui e cheguei em algumas situações. Vou pensar um pouco mais para ver se eu consigo chegar na resposta final.~~

Sejam as funções definidas por:

\\f: X \to Y ,g:Y \to Z ,gof:X \to Z\ \mathrm{e\ }(gof)^{-1}:Z\to X\\\\\mathrm{Para\ }x\in X,\exists \ y\in Y\ \mathrm{tal\ que}:f(x)=y\ \therefore \ x=f^{-1}(y)\\\\\mathrm{Para\ }y\in Y,\exists \ z\in Z\ \mathrm{tal\ que:\ }g(y)=z\ \therefore \ y=g^{-1}(z)\\\\\therefore \ gof(x)=g(y)=z\ \therefore \ x=(gof)^{-1}(z)\\\\\mathrm{Observando\ que:}\\\\f^{-1}og^{-1}(z)=f^{-1}(y)=x\ \therefore \ x=f^{-1}og^{-1}(z)\\\\\mathrm{De\ }x=(gof)^{-1}(z)\ \mathrm{e}\ x=f^{-1}og^{-1}(z):\\\\\mathrm{Tem-se:\ }(gof)^{-1}(z)=f^{-1}og^{-1}(z)\therefore \ \boxed {(gof)^{-1}=f^{-1}og^{-1}}

por **Giovana Martins** Sex 25 Jan 2019, 20:46

Deixei a resposta completa no post acima.

\\f^{-1}og^{-1}(z)=f^{-1}(y)=x\ \therefore \ x=f^{-1}og^{-1}(z)\\\\\mathrm{De\ }x=(gof)^{-1}(z)\ \mathrm{e}\ x=f^{-1}og^{-1}(z):\\\\\mathrm{Tem-se:\ }(gof)^{-1}(z)=f^{-1}og^{-1}(z)\\\\\therefore \ (gof)^{-1}=f^{-1}og^{-1}

Fiz algumas edições no post acima.

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