Probabilidade

O conceito de variável aleatória está relacionado à descrição de modelos probabilísticos para variáveis de interesse (fenômenos reais).
Um empresário pretende estabelecer uma firma para montagem de um produto composto de uma esfera e um cilindro. As partes são adquiridas em fábricas diferentes (A e B), e a montagem consiste em juntar as duas peças e pintá-las. O produto acabado deve ter o comprimento (definido pelo cilindro) e a espessura (definida pela esfera) dentro de certos limites.

O empresário deseja estudar a viabilidade do seu empreendimento estimando o lucro por peça montada.
Cada componente pode ser classificado como bom, longo ou curto, conforme sua medida esteja dentro da especificação, maior ou menor que a especificação, respectivamente. Tanto esfera quanto cilindro são vendidos cada peça por R$5,00 e as probabilidades de produção de cada peça com as características bom, longo e curto são:


Produto.......................................................Fábrica A.........Fábrica B..
.................................................................(Cilindro)..........(Esfera)....
Dentro das especificações - Bom (B)..................0,80................0,70......
Maior que as especificações - Longo (L)..............0,10................0,20......
Menor que as especificações - Curto (C)..............0,10................0,10....


Se o produto fnal apresentar algum componente curto (C), ele será irrecuperável, e o conjunto será vendido como sucata a R$ 5,00. Cada componente longo (L) poderá ser recuperado a um custo adicional de R$ 5,00.

Se o preço de venda for R$ 25,00, como será a distribuição do lucro por conjunto montado?

Para auxiliar, vamos definir a variável:

X = lucro por conjunto montado

A construção dessa distribuição de frequências vai depender de certas suposições que faremos sobre o comportamento
do sistema considerado. Com base nessas suposições, estaremos trabalhando com um modelo da realidade.

A distribuição que obtivermos será uma distribuição teórica, tanto mais próxima da distribuição de frequências real quanto mais fiéis à realidade forem as suposições.

Assumindo que classificação dos cilindros e das esferas são independentes, resulta que o espaço amostral para a montagem dos conjuntos segundo as características de cada componente e suas probabilidades são:

Tabela 1: Probabilidade e lucro por tipo de produto resultante
Produto___Probabilidade__Lucro por conjunto (X)
BB_________0,56____________15
BL_________0,16____________10
BC_________0,08____________-5
LB_________0,07____________10
LL_________0,02_____________5
LC_________0,01____________-5
CB_________0,07____________-5
CL_________0,02____________-5
CC_________0,01____________-5

Resumindo, vemos que X pode assumir os seguintes valores:
15, se ocorre { BB }
10, se ocorre { BL, LB}
5, se ocorre { LL }
-5, se ocorre { BC, LC, CB, CL, CC }

Assim, o modelo teórico para a distribuição do lucro por conjunto montado pode ser assim especicado:

Tabela 2: Distribuição do lucro por conjunto
_____x ______p(x)
_____15_____ 0,56
_____10_____ 0,23
______5_____ 0,02
_____-5 _____0,19
____Total_______1

Agora começa o exercício:

a) As contas que levam aos resultados apresentados na Tabela 1 foram omitidas. Mostre que as probabilidades e os lucros apresentados estão corretos. Ou seja, apresente as contas que foram omitidas.

b) Analogamente, mostre que os resultados apresentados na Tabela 2 estão corretos. Ou seja, mostre
que
P(X = 15) = 0, 56
P(X = 10) = 0, 23
P(X = 5) = 0, 02
P(X = −5) = 0, 19

c) Calcule o valor esperado do lucro, E(X).

Para montar a tabela 1:

A coluna de probabilidades é obtida pelo produto das probabilidades individuais (exemplo: 0,8 * 0,7 = 0,56 e assim por diante) porque estas são independentes entre si.

A coluna do lucro é obtida de uma das duas formas:

- Se não houver peças curtas, descontando-se dos 25 reais da venda os gastos para recuperação das peças longas (5 reais para cada caso);

- No caso de haver pelo menos uma peça curta, o prejuízo já pode ser assumido como de 5 reais (pois se gastaram 10 reais para montar o conjunto e este foi vendido por 5 reais como sucata).

A coluna 2 é obtida agrupando-se as probabilidades de cada lucro possível por meio da soma, quando for o caso. A soma se deve ao fato de haver formas diferentes de obter o mesmo resultado.

O valor esperado do lucro é obtido pela soma dos produtos obtidos em cada linha da tabela 2 (ou mesmo da tabela 1):

E(X) = 15*0,56 + 10*0,23 + 5*0,02 + (-5)*0,19