(x^x)^y = 78.125

Boa noite. Essa questão caiu em um vestibular de uma Faculdade particular e eu não consegui/consigo resolver.

((x)^x)^y = 78.125, dessa forma ((y)^x)^x vale:

A) 1.024
B) 32.768
C) 1.048.576
D) 33.554.432

Infelizmente eu não tenho o Gabarito.

álgebra NÃO é minha praia... mas mesmo assim acho que a questão tem falha.

((x)^x)^y = 78.125, dessa forma ((y)^x)^x vale:

A) 1.024 = 2¹⁰
B) 32.768 = 2¹⁵
C) 1.048.576 = 2²⁰
D) 33.554.432 = 2²⁵

78 125 = 5⁷

(x^x)^y = x^xy = 5⁷
evidentemente devemos ter x= 5
logo xy = 7 -----> y = 7/5

Mas olhando as alternativas percebemos que devemos ter y = 2, pois todas são potências de 2. Logo
(y^x)^x = y^{(x^2)}
o que nos leva a 2²⁵  ------> alternativa D
Só que aí "arrebenta" a premissa: (5⁵)² = 9 765 625 ≠ 78 125


Mas temos muitos colegas fera aqui no fórum, vamos esperar que algum traga uma luz.

Eu não sei se faz diferença. Mas essa é a questão original.

Algumas considerações

(x^x)^y = 78 125 ---> x^x = ^y√(5⁷⁾ --->  x^x = 5^7/y ---> I

Supondo que  x^x seja racional, as possibilidades para y são: y = - 7, y = -1, y = 1, y = 7:

Para y = - 7 --->  x^x = 5^-1 --->  x^x = 1/5 ---> x^x NÃO é racional
Para y = - 1 --->  x^x = 5^-7 --->  x^x = 1/5⁷ ---> x^x NÃO é racional
Para y = 1 --->  x^x = 5⁷ ---> x^x NÃO é racional
Para y = 7 --->  x^x = 5¹ --->  x^x = 5 ---> x^x NÃO é racional

Conclusão: x^x NÃO é racional. Logo, x poderia ser, por exemplo: x = √5, x = 2.√5, etc

(y^x)^x = y^x² ---> II

Como todas as alternativas são todas potência de 2, fica claro que y é uma potência de 2:

y = (2^k)^x² ---> y = 2^k.x² ---> k natural

Para k = 0 ---> y = 1 ---> Não serve
Para k = 1 ---> Temos 4 possibilidades:

a) 2^x² = 2¹⁰ ---> x² = 10 --> x = √10
b) 2^x² = 2¹⁵ ---> x² = 15 --> x = √15
c) 2^x² = 2²⁰ ---> x² = 20 --> x = √20
d) 2^x² = 2²⁵ ---> x² = 25 --> x = 5

Para k = 2 ---> temos 4 possibilidades:

a) 2^2.x² = 2¹⁰ ---> x² = 5 --> x = √5
b) 2^2.x² = 2¹⁵ ---> x² = 15/2 --> x = √30/2
c) 2^2.x² = 2²⁰ ---> x² = 10 --> x = √10
d) 2^2.x² = 2²⁵ ---> x² = 25/2 --> x = 5.√2/2

Será que dá para tirar conclusões?