Pintura de casas - Probabilidade, UFPR 2018/2019

Questão de matemática da mais recente prova da UFPR

Em uma reunião de condomínio, os moradores resolveram fazer
um sorteio para decidir a ordem em que suas casas serão
pintadas. As 8 casas desse condomínio estão dispostas conforme
o esquema ao lado. Dizemos que duas casas são vizinhas quando
estão dispostas de frente ou de lado. Por exemplo, a casa 3 é
vizinha das casas 1, 4 e 5, enquanto a casa 8 é vizinha apenas das
casas 6 e 7.
Qual é a probabilidade das duas primeiras casas sorteadas serem
vizinhas?



a) 5/28. - GABARITO
b) 5/32.
c) 5/14.
d) 5/16.
e) 9/56.

Segue a minha tentativa:

As 4 casas dos cantos têm 2 vizinhas cada, portanto se uma delas for escolhida (chance 1/, a chance da próxima escolhida ser uma vizinha é 2/7.
As 4 casas do meio têm 3 vizinhas cada, portanto se uma delas for escolhida (chance 1/, a chance da próxima escolhida ser uma vizinha é 3/7.

Portanto, a chance das duas primeiras casas serem sorteadas deve ser

\frac{1}{8}(\frac{2}{7}+\frac{2}{7}+\frac{2}{7}+\frac{2}{7}+\frac{3}{7}+\frac{3}{7}+\frac{3}{7}+\frac{3}{7})=\frac{1}{8}(\frac{20}{7})=\frac{20}{56}=\boxed{\frac{5}{14}}

Onde foi que eu errei?

O gabarito sugerido pela banca está errado.. A resposta correta é  \frac{5}{14}

outra solução:

Os "casos favoráveis", dados em subconjuntos, são representados por:

{1,3}
{1,2}
{2,4}
{3,4}
{3,5}
{4,6}
{5,6}
{5,7}
{6,8}
{7,8}


Esses subconjuntos representam as casas sorteadas, de forma que a ordem em que elas irão aparecer é irrelevante.

O número total de forma de selecionarmos duas casas para serem pintadas inicialmente é  

A resposta é  

_____________________________________________________________________________________________________

"A ordem importa...."

Multiplique os subconjuntos por 2, pois para cada par há um simétrico: sai primeiro a primeira casa e depois a terceira, ou sai primeiro a terceira e depois a primeira, por exemplo.

Dessa forma, a resposta ficaria   , pois devermos permutar, também, as duas casas escolhidas na combinação .