Soma dos digitos

por **Victor M** Qua 29 Jun 2011, 09:55

Seja A a soma dos dígitos de 4444^(4444) e B a soma dos dígitos de A. Ache a soma dos dígitos de B.
Gabarito:

Spoiler:

por Pablo Simões Qua 29 Jun 2011, 17:17

Olá Victor,

Eu não sei se estou certo porém cheguei ao resultado. Sabe-se que a Prova dos nove diz: "Se x e x' têm o mesmo resto módulo 9, x + y também tem". Ou seja, a soma dos dígitos de um número tem o mesmo resto em sua divisão por 9 que o próprio número.

Então repare que:
4444 : 9 = 493, com resto 7.
493 : 9 = 54, com resto 7.

E que:

4444 => 4+4+4+4 = 16.
493 => 4+9+3 = 16.

Onde 16 : 9 = 1, também deixa resto 7.

Então cheguei a conclusão que 16 seria um possível valor para A, e B seria 7 (1+6=7), conforme o gabarito.

Prova dos nove, http://pt.wikipedia.org/wiki/Prova_dos_nove.

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Se eu estiver errado, por favor corrijam-me.

Abraço!

por **Victor M** Qua 29 Jun 2011, 20:12

Pablo, mas você está considerando que estamos trabalhando com 4444, quando da verdade N é 4444^4444.

Desculpe-me, se eu não tiver compreendido corretamente seu raciocinio.

por Pablo Simões Qua 29 Jun 2011, 21:56

Victor é verdade, mas o meu raciocínio não foge muito da minha resposta anterior.

Como sabemos que o resto da divisão de um número por 9 é igual ao resto da divisão da soma dos algarismos desse número por 9. E ainda mais se considerarmos que $4444^{4444}$ é um número gigantesco, devemos encontrar uma maneira mais simples de resolve-la.

Aí vem:
$4444^{4444} \equiv (4+4+4+4)^{4444} (mod\ 9)$
$4444^{4444} \equiv (16)^{4444} \equiv (-2)^ {4444}\ (mod\ 9)$
$4444^{4444}\equiv ((-2)^{3})^{1481}.(-2)\ (mod\ 9)$
E assim por diante. Por fim, poderemos provar que $4444^{4444}$ deixa resto 7 na divisão por 9.

Agora lembre que: A soma dos algarismos de $4444^{4444}$ tem o mesmo resto em sua divisão por 9 que pelo próprio número ( $4444^{4444}$ ), a soma dos dígitos de B só pode ser 7 (porque o número B deixa resto 7 na divisão por 9).

B = 16
$16 \equiv 7\ (mod\ 9)$
1+6 = 7

por **Victor M** Qui 30 Jun 2011, 09:28

Obrigado Pablo.

Obs: Questão tirada da prova da IMO.

Cumprimentos, Victor M.

por **luiseduardo** Qui 30 Jun 2011, 12:04

Muito bom, Pablo.

por **Euclides** Qui 13 Nov 2014, 22:58

por CarlosArguilar em Qui 6 Nov 2014

No tópico "Questões fora de sério (resolvidas)" tem uma questão com o título "Soma dos dígitos":https://pir2.forumeiros.com/t15180-soma-dos-digitos, em que a pessoa que resolveu fez uma coisa esquisita:
Ele considerou que o número B seria 16 só pelo motivo dele ser congruente a 4444 mod 9, sendo que existem infinitos números com essa propriedade (ex:34,70, 1159).
Deu 7 por "coincidência" (falo coincidência porque se ele tivesse escolhido, por exemplo, 88 ,que é congruente a 7 mod 9, não daria 7, e sim 16.) e por isso a solução não seria totalmete válida.
PS: Estou falando isso pois conheço a solução (correta) desta questão.

https://pir2.forumeiros.com/t79137-resolucao-errada-de-uma-questao#276517