Valor de a

Se a e b são inteiros tais que x²-x-1 é um fator de , então a vale:

a) 1
b) 123
c) 247
d) 625
e) 987

+ax^17 + bx^16 + ................................ + 1|x² - x - 1
..................................................................|_________________________________
....................................................................ax^15 + (a+b)x^14 + (2a+b)x^13 + ....
-ax^17 + ax^16 + ax^15
_____________________
..... + (a+b)x^16 + ax^15
..... - (a+b)x^16 + (a+b)x^15 + (a+b)x^14
___________________________________
....................... + (2a+b)x^15 + (a+b)x^14
....................... - (2a+b)x^15 + (2a+b)x^14 + (2a+b)x^13
_______________________________________________
........................................... + (3a+b)x^14 + (2a+b)x^13

E assim por diante, apé se chegar ao último resto:

R = (na + b)x + (n - 1)a + b + 1

Devemos ter R = 0 para qualquer valor de x:

I) na + b = 0 ----> b = - na

II) (n - 1)a + b + 1 = 0 ----> na - a + (-na) + 1 = 0 -----> a = 1

Você pode ver que meu resultado seria alternativa A, não coincidente com o gabarito.
Favor checar meus cálculos e o gabarito.

Mestre Elcioschin, eu acredito que o gabarito esteja correto. Esta questão é do livro "From Erdös to Kiev - Problems of Olympiad Caliber (Ross Honsberger) - pág. 96"

Élcio, realmente, o gabarito está certo, fiz na calculadora, mas não sei ainda como resolver.

Up...

Já descobri meu erro:

A sequência dos restos é uma sequência de Fibonnacci

Exp. do termo de maior grau do resto - Coeficientes do resto da divisão
....................... 16 ................................ a + b ....................... a
....................... 15 ............................... 2a + b .................... a + b
....................... 14 ............................... 3a + 2b ................. 2a + b
....................... 13 ............................... 5a + 3b ................. 3a + 2b
....................... 12 ............................... 8a + 5b ................. 5a + 3b
....................... 11 ............................... 13a + 8b ............... 8a + 5b
....................... 10 ............................... 21a + 13b ............ 13a + 8b
........................ 9 ................................ 34a + 21b ............ 21a + 13b
........................ 8 ................................ 55a + 34b ............ 34a + 21b
........................ 7 ................................ 89a + 55b ............ 55a + 34b
........................ 6 .............................. 144a + 89b ............ 89a + 55b
........................ 5 .............................. 233a + 144b ........ 144a + 89b
........................ 4 .............................. 377a + 233b ........ 233a + 144b
........................ 3 .............................. 610a + 377b ........ 377a + 233b
........................ 2 .............................. 987a + 610b ........ 610a + 377b
........................ 1 ............................. 1597a + 987b ....... 987a + 610b