Trigonometria e área
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Trigonometria e área
por VesTeles Sex 08 Jun 2018, 16:37
Essa questão já foi postada, mas a resolução não aparece mais e, pelo que li lá, eles resolveram apenas a letra b.
A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um setor circular de raio R e ângulo central θ.
a) Para θ = 60º, determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular.
b) Determine o valor de cos θ no caso em que R = 4r
A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um setor circular de raio R e ângulo central θ.
a) Para θ = 60º, determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular.
b) Determine o valor de cos θ no caso em que R = 4r
- Gabarito:
- a) 2/3
b) 7/9
VesTeles- Mestre Jedi
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Re: Trigonometria e área
por Pedro29 Sex 08 Jun 2018, 18:52
a) Para θ = 60º, determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular.
pir²/θpiR²/360 = pir²/60piR²/360 = pir²/piR²/6 = 6pir²/piR² = 6pir²/piR² = 6r²/R²
A = 6r²/R²
Irei desenhar para ficar melhor a resolução. Vou te dever um desenho bem desenhado, mas ta valendo kkk.
OA é bissetriz, logo, o angulo é cortado ao meio.
R = 2r + r
R = 3r
A = 6r²/R²
A = 6r²/(3r)²
A = 6r²/9r²
A = 2/3
Já que você disse que já sabe a resolução da letra b), creio eu que não preciso responde-la, certo?
pir²/θpiR²/360 = pir²/60piR²/360 = pir²/piR²/6 = 6pir²/piR² = 6pir²/piR² = 6r²/R²
A = 6r²/R²
Irei desenhar para ficar melhor a resolução. Vou te dever um desenho bem desenhado, mas ta valendo kkk.
OA é bissetriz, logo, o angulo é cortado ao meio.
R = 2r + r
R = 3r
A = 6r²/R²
A = 6r²/(3r)²
A = 6r²/9r²
A = 2/3
Já que você disse que já sabe a resolução da letra b), creio eu que não preciso responde-la, certo?
Pedro29- Padawan
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Re: Trigonometria e área
por VesTeles Sex 08 Jun 2018, 19:37
Opa obrigado pela resolução bem detalhada! Na verdade eu não sabia fazer a letra a e b, mas eu já consegui, ela é um pouco parecida com a A(agora que eu sei ficou mais fácil). Não sei possui um outro jeito (até mais fácil), mas resolvi assim:
obs: não consegui colocar imagens, elas estão corrompendo.
Sendo OA = 3r e OB = r, dá para descobrir o angulo entre eles:
senΘ/2 = r/3r ---> senΘ/2 = 1/3
Para descobrir o cos eu usei a relação sen²Θ + cos² = 1:
1/9 + cos²Θ = 1 ---> cos²Θ = 1 - 1/9 ---> cos Θ/2 = √8/3
Usei a soma de arcos:
cos(Θ/2 + Θ/2) = cosΘ/2 . cosΘ/2 - senΘ/2 . senΘ/2
cos(Θ/2 + Θ/2) = (√8/3)² - (1/3)² ---> 8/9 - 1/9 ---> 7/9
CosΘ = 7/9
obs: não consegui colocar imagens, elas estão corrompendo.
Sendo OA = 3r e OB = r, dá para descobrir o angulo entre eles:
senΘ/2 = r/3r ---> senΘ/2 = 1/3
Para descobrir o cos eu usei a relação sen²Θ + cos² = 1:
1/9 + cos²Θ = 1 ---> cos²Θ = 1 - 1/9 ---> cos Θ/2 = √8/3
Usei a soma de arcos:
cos(Θ/2 + Θ/2) = cosΘ/2 . cosΘ/2 - senΘ/2 . senΘ/2
cos(Θ/2 + Θ/2) = (√8/3)² - (1/3)² ---> 8/9 - 1/9 ---> 7/9
CosΘ = 7/9
Última edição por VesTeles em Sex 08 Jun 2018, 19:42, editado 2 vez(es) (Motivo da edição : Editar erros de digitação)
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Re: Trigonometria e área
por Pedro29 Sáb 09 Jun 2018, 11:58
É isso mesmo! show
Eu fiz por um outra formula do cosseno do arco duplo.
OA = 3r
OB = r
senθ/2 = r/3r = 1/3
cos (2x) = 1 - 2sen²x
cos (2.θ/2) = 1 - 2sen²(θ/2)
cos (θ) = 1 - 2(1/3)²
cos (θ) = 1 - 2.1/9
cos (θ) = 1 - 2/9
cos (θ) = 7/9
Achei mais rápido pelo fato de não precisar usar a relação fundamental
Eu fiz por um outra formula do cosseno do arco duplo.
OA = 3r
OB = r
senθ/2 = r/3r = 1/3
cos (2x) = 1 - 2sen²x
cos (2.θ/2) = 1 - 2sen²(θ/2)
cos (θ) = 1 - 2(1/3)²
cos (θ) = 1 - 2.1/9
cos (θ) = 1 - 2/9
cos (θ) = 7/9
Achei mais rápido pelo fato de não precisar usar a relação fundamental
Última edição por Pedro29 em Sáb 09 Jun 2018, 13:05, editado 4 vez(es)
Pedro29- Padawan
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Re: Trigonometria e área
por Pedro29 Sáb 09 Jun 2018, 12:02
Minhas imagens também corromperam no começo, dai eu fiz o upload neste site https://uploaddeimagens.com.br/ copiei o link, coloquei aqui e funcionou.
Nao precisa fazer cadastro algum, é só hospedar e copiar o link!
Nao precisa fazer cadastro algum, é só hospedar e copiar o link!
Pedro29- Padawan
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Re: Trigonometria e área
por VesTeles Sáb 09 Jun 2018, 14:02
Muito obrigado! eu não conhecia essa forma de se fazer o cosseno do arco duplo, é melhor porque diminui o tempo que faz o exercíco. Vlw!!
VesTeles- Mestre Jedi
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