menor area possivel de um triangulo em trigonometria

por **leozinho** Qui 17 Nov 2011, 15:18

As retas r e s são paralelas; a distância entre elas é 7 m e o segmento AB, com A pertence r e B pertence s , é perpendicular a r. Se P é um ponto em AB tal que o segmento AP mede 3 m e X e Y são pontos de r e s, respectivamente, de modo que o ângulo X'P'Y mede 90º (angulo em P), a menor área possível do triângulo XPY, em m^2 , é:
a) 21 b) 16 c) 14 d) 12

por **Giovana Martins** Sáb 23 Set 2023, 17:43

Questão antiga, mas muito boa para treinar.

Os triângulos APX e PBY são semelhantes pelo critério A.A.A..

menor area possivel de um triangulo em trigonometria Oie_t154

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{AX}{PB}=\frac{AP}{BY}\to AX=\frac{12}{BY}\to BY^2=\frac{144}{AX^2}}\\\\ \mathrm{\left [ XPY \right ]=\frac{1}{2}\cdot PX \cdot PY\to [XPY]=\sqrt{\frac{1}{4}\cdot \left ( AP^2+AX^2 \right )\cdot \left ( PB^2+BY^2 \right )}}\\\\ \mathrm{[XPY]=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{(9+AX^2)\cdot \left ( 16+\frac{144}{AX^2} \right )}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{288+\frac{1296}{AX^2}+16AX^2}}\\\\ \mathrm{Pela\ Desigualdade\ das\ M\acute{e}dias:\frac{1}{2}\cdot \left ( \frac{1296}{AX^2} +16AX^2\right )\geq \sqrt{1296\cdot 16}}\\\\ \mathrm{\therefore\ \frac{1296}{AX^2} +16AX^2\geq 288\ \therefore\ [XPY]=[XPY]_{min}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{288+288}=12}[/latex]

Esta questão também pode ser resolvida por derivadas:

[latex]\\\mathrm{[XPY]=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{288+\frac{1296}{AX^2}+16AX^2},com\ f(AX)=288+\frac{1296}{AX^2}+16AX^2}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{df(AX)}{dAX}=\frac{d}{dAX}\left ( 288+\frac{1296}{AX^2}+16AX^2 \right )=\frac{32(AX^4-81)}{AX^3}}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ Ponto\ critico:\frac{df(AX)}{dAX}=0\to AX^4-81=0\ \therefore\ AX=3}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \therefore\ f(AX)=f(AX)_{min}=f(3)=288+\frac{1296}{(3)^2}+16\cdot (3)^2=576}\\\\ \mathrm{\therefore \ [XPY]=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{f(AX)}\therefore \[XPY]_{min}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{f(AX)_{min}}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{576}=12}[/latex]

por **Medeiros** Ter 26 Set 2023, 02:52

A Giovana fez uma proeza: resolveu tudo usando estritamente geometria plana. Tenho um modo mais fácil.

menor area possivel de um triangulo em trigonometria Scre2043

[latex]\\\cos \alpha=\frac{3}{a}\ \to\ a=\frac{3}{\cos \alpha}\\\\ \sin \alpha = \frac{4}{b}\ \to\ b=\frac{4}{\sin \alpha}\\\\ S = \frac{a.b}{2}\ \to\ S = \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{\cos \alpha}\cdot \frac{4}{\sin \alpha}[/latex]

[latex]\\S_{m\acute{i}n}\ \Rightarrow\ \sin \alpha.cos \alpha = m\acute{a}x\ \Rightarrow\ \sin\alpha = \cos\alpha\ \to\ \alpha=45^{o}\\\\ \therefore\ \sin\alpha=\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}[/latex]

[latex]\\\therefore\ S_{m\acute{i}m} = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\ =\ 3\cdot4\ =\ \boxed{\,12\,}[/latex]

___________________________________________________________________

corolário: percebemos que
1) AX = AP e BY = BP
2) os triângulos adjuntos devem ser isósceles retângulo.

por **Giovana Martins** Ter 26 Set 2023, 08:37

Medeiros escreveu:A Giovana fez uma proeza: resolveu tudo usando estritamente geometria plana. Tenho um modo mais fácil.

[latex]\\\cos \alpha=\frac{3}{a}\ \to\ a=\frac{3}{\cos \alpha}\\\\ \sin \alpha = \frac{4}{b}\ \to\ b=\frac{4}{\sin \alpha}\\\\ S = \frac{a.b}{2}\ \to\ S = \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{\cos \alpha}\cdot \frac{4}{\sin \alpha}[/latex]

[latex]\\S_{m\acute{i}n}\ \Rightarrow\ \sin \alpha.cos \alpha = m\acute{a}x\ \Rightarrow\ \sin\alpha = \cos\alpha\ \to\ \alpha=45^{o}\\\\ \therefore\ \sin\alpha=\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}[/latex]

[latex]\\\therefore\ S_{m\acute{i}m} = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\ =\ 3\cdot4\ =\ \boxed{\,12\,}[/latex]

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corolário: percebemos que
1) AX = AP e BY = BP
2) os triângulos adjuntos devem ser isósceles retângulo.

Então, Medeiros, estou enferrujada na geometria plana, daí dei uma misturada entre geometria plana e os algebrismos.

Apelei para o algebrismo que é o que eu me recordo bem. Eu gosto muito de usar essas desigualdades nessas resoluções envolvendo otimizações, mas com certeza a sua resolução é mais didática, porque essa desigualdade das médias que eu utilizei são poucos os vestibulares que cobram.

Da sua resolução ainda dá para tirar mais um corolário. Veja que você chegou em uma expressão S = 12/sin(2a). Como sin(2a) varia entre - 1 e 1, S é mínimo quando sin(2a) = 1, o que nos leva a S = 12.

por **Medeiros** Seg 02 Out 2023, 17:28

Sim, Giovana, álgebra sempre se acaba usando em maior ou menor intensidade. No meu entender você usou os conceitos da geom. plana nas suas duas soluções auxiliada por álgebra na primeira e cálculo na segunda.

Empreguei direto a trigonometria e também notei ter chegado em sen(2a) mas optei por deixar o produto sen.cos e usei álgebra neste ponto, embora de forma subliminar.

Como resolvi o produto sen(a).cos(a): sen e cos são dois números e o significado do produto de dois números é a área de um retângulo. Da álgebra sabemos que dado um perímetro -- e neste caso já está dado o sen e o cos -- a maior área ocorre quando os lados são iguais, ou seja, para um quadrado. Portanto neste caso devemos ter sen(a)=cos(a) e isto implica em a=45º.

Na minha cabeça eu visualizava o retângulozinho sen*cos com a diagonal excursionando dentro do círculo trigonométrico entre 0 e pi/2, kkk.

Achei que esta passagem era óbvia e não explicitei. Se alguém tivesse questionado teria dado essa explicação.