Sistema logarítmico

por jvdbosa Qui 07 Jun 2018, 00:09

Ache x se:

\4^{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}=32

\log _{3}(x-y)+log _{3}(x+y)=1

Resposta: x=2

por VesTeles Qui 07 Jun 2018, 07:31

Olá eu consegui resolver desse jeito:
$4^{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} = 32 \\ 2^2\left ( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}\right ) = 2^{5} \\ 2\left ( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}\right ) = 5 \\ {\frac{2x}{y} + \frac{2y}{x}} = 5 \\ \frac{2x^{2} + 2y^{2}}{yx} = 5 \\ 2x^{2}+ 2y^{2} = 5xy \\ Reescrevendo: 2x^{2}-5xy+ 2y^{2} = 0 \\$

*Resolver a equação do segundo grau:
$2x^{2}-5xy+ 2y^{2} = 0 \\ \frac{5y\pm \sqrt{(5y)^{2}-4*2*2y^{2}}}{4} \\ \frac{5y \pm \sqrt{9y^{2}}}{4} \\ \frac{5y \pm 3y}{4}\rightarrow X = 2y;\frac{y}{2}$

Agora no log:

$log{_{3}}(x-y) + log{_{3}} (x+y) = 1 \\ log{_{3}}(2y-y) + log{_{3}} (2y+y) = 1 \\ log{_{3}}(y + log{_{3}} (3y) = 1 \\ log{_{3}}(3y^{2}) = log{_{3}}3 \\ 3y^{2} = 3 \\ y^{2}=1 \\ y = \pm 1$

-1 é inválida, portanto y = 1.
Voltando na equação:
$x = 2y \\ x = 2$

Qualquer erro ou dúvida é só falar.
Bons estudos!

por jvdbosa Qui 07 Jun 2018, 11:00

Obrigado!!

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