A área hachurada é

por Mhiime Qui 16 Jun 2011, 17:57

Na figura, O é o centro do círculo de raio r, AT é tangente ao círculo e MT é perpendicular a AT. Então, a área hachurada é
A área hachurada é Sdfdf

resposta: r²/24.(9 raiz de 3-4tt)

por **JoaoGabriel** Qui 16 Jun 2011, 18:33

A área hachurada é dada pela área do trapézio MTOA menos a do setor MOA.

Cálculo da altura do trapézio em função do raio:

$\\\frac {h}{r} = \frac {\sqrt {3}}{2}\to h= \frac {r\sqrt{3}}{2}$

Precisamos calcular MT para determinarmos a área.

Imagine um ponto X que saia de M e desça até atingir perpendicularmente OA. Temos que MT = R - OX.
Podemos calcular OX pelo cosseno de 60º:

$\\\frac {OX}{r} = \frac {1}{2} \to OX = \frac {r}{2}$

Logo MT vale r - r/2 = r/2.

Cálculo da área do trapézio:

$\\S_t = (r + r/2)\frac {r\sqrt {3}}{4}\to St = \frac {3r^2\sqrt{3}}{8}$

Área do setor circular:

$\\S_s = \frac {60}{360}\times \pi r^2 \to \frac {\pi r^2}{6}$

Fazendo a subtração para determinar a área pedida:

$\\S= \frac {3r^2\sqrt{3}}{8} -\frac {\pi r^2}{6}\to \frac {9r^2\sqrt{3}-4\pi r^2}{24}\to \frac {r^2}{24}(9\sqrt {3} - 4\pi)$

Forte abraço

por **Elcioschin** Qui 16 Jun 2011, 18:37

Por M trace uma perpendicular a OA. Seja N o pé desta perpenicular

MN = OM*sen30º -----> MN = r*\/3/2 ----> AT = r*\/3/2

ON = OM*cos60º ----> ON = r*(1/2) ----> ON = r/2

AN = OA - ON ----> AN = r - r/2 ----> AN = r/2 ----> MT = r/2

Área do trapézio OATM ----> St = (OA + MT)*AT/2 ----> St = (r + r/2)*r*\/3/2 ---->

St = r²*3*\/3/8 ----> St = (r²/24)*9*\/3

Área do setor circular de 60º ----> Ss = pi*r²/6 ---> Ss = 4pi*(r²/24)

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