área hachurada

por carlex28 Sáb 12 maio 2012, 22:48

são dados um quadrado de lado a e um triangulo equilatero de lado a.Calcule a área hachurada,sabendo que os pontos A,B e C são alinhados.

http://imageshack.us/content_round.php?page=done&l=img51/5647/triangulo.png
área hachurada Triangulo

por **Al.Henrique** Sáb 12 maio 2012, 23:08

Qual o gabarito ?

Achei (a²√3)/12. Está correto ?

por carlex28 Sáb 12 maio 2012, 23:16

O gabarito é a2(2√3−1)/44

por **Elcioschin** Dom 13 maio 2012, 10:45

Sejam P, Q, R os vértices do quadrado e do triângulo

Seja um sistema xOy com origem em A e eixo X contendo A, B, C

A(0,0), B(a, o), C(2a, 0), P(0, a), Q(a, a), R(3a/2, a*\/3/2)

Sejam M e N os pontos onde a reta PC cruza BQ e BR

Reta PC ----> y - a = (-1/2)*(x - 0) -----> y = - x/2 + a ----> x = a ----> y = a/2 ----> M(a, a/2)

Reta BR ----> y - 0 = \/3*(x - a) ---> y = x*\/3 - a*\/3

Ponto N ----> - xN/2 + a = xN*\/3 - a*\/3 ----> - xN + 2a = xN*2*\/3 - a*2*\/3 ---->

xN*(2*\/3 + 1) = a*2*(\/3 + 1) ----> xN = a*2*(\/3 + 1)/(2*\/3 + 1) -----> xN = a*(5 + \/3)/11

Calculem yN e depois calculem a área através do determinante dos 3 vértices do triângulo BMN

por **Al.Henrique** Dom 13 maio 2012, 12:49

Mestre ,

Enxerguei a seguinte solução :

área hachurada IYQpG1wikBhwd8EgrQNThEoLPibQBCEwWDCEARhMJgwBEEYDCYMQRAGgwlDEITBYMIQBGEwmDAEQRgMJgxBEAaDCUMQhMFgwhAEYTCYMARBGAwmDEEQBoMJQxCEwWDCEARhMJgwBEEYzP8D9+uqEh2ZIWQAAAAASUVORK5CYII=

área hachurada IYQpG1wikBhwd8EgrQNThEoLPibQBCEwWDCEARhMJgwBEEYDCYMQRAGgwlDEITBYMIQBGEwmDAEQRgMJgxBEAaDCUMQhMFgwhAEYTCYMARBGAwmDEEQBoMJQxCEwWDCEARhMJgwBEEYzP8D9+uqEh2ZIWQAAAAASUVORK5CYII=

Considerando que o ângulo do quadrado é reto e o ângulo HÂF é 60 graus, porque o triângulo AFE é equilatero, o ângulo do triângulo pequeno é 30 graus , ja que a soma dos 3 alí, tem que ser 180 graus.

Tirando a tangente de alfa , enxergando o triangulo FCD, temos que tg(α) = a/2a = 1/2

Mas segue que :
sen²(a)= tg²(α)/ 1 + tg²(α)

Então sen²(α) = 1/4 / 5/4 = 1/5

Então :
sen(α) = √5/5
cos(α) = 2√5/5

O resto agora, é algebrismo e trigonometria, só marcar os ângulos nos triângulos, tudo em função de α !
Sendo assim , pode-se aplicar tanto a lei dos senos ou cossenos para se achar os lados do triângulo AGH

por carlex28 Dom 13 maio 2012, 17:19

Poderia continuar o raciocínio,ainda não consegui entender.

por **Elcioschin** Dom 13 maio 2012, 21:29

Continuando

Já foi provado que AG = a/2

HÂF = 60º ----> A^HG = α + 60º (teorema do ângulo externo)

A^GH + A^HG + 30º = 180º ----> A^GH + (α + 60º) + 30º = 180º ----> A^GH = 90º - α

Lei dos senos no triângulo AGH:

AH/senA^GH = AG/senÂ^HG ----> AH/sen(90 - α) = (a/2)/sen(α + 60º) ----> AH = a*cosα/2*sen(α + 60º)

Calcule AH em função de senα e cosα calculado pelo A.Henrique

Área do triângulo AGH: S = (AG*AH*sen30º)/2 ---> S = (a/2)*AH/4

Calcule S (racionalizando, se necessário)