Relações métricas em triângulos

por VesTeles Sáb 28 Abr 2018, 09:56

No triângulo ABC da figura, que não está desenhada em escala, temos:

Relações métricas em triângulos Relayy10

a) Mostre que os triângulos ABC e BEC são semelhantes e, em seguida, calcule AB e EC.
b) Calcule AD e FD.

gabarito:

Eu já consegui calcular o AB, EC e o AD, mas o FD não estou conseguindo.

por **Elcioschin** Sáb 28 Abr 2018, 11:42

Mostre o passo-a-passo da sua solução. Isto facilitaria outros usuários te ajudarem.

por VesTeles Sáb 28 Abr 2018, 13:38

Ficou assim minha solução

A) Os triângulos são semelhantes por ângulo-ângulo, pois BÂC ≅ C^BE e BC^A ≅ EC^B.

AB/8 = 27/9 ==> AB= 24
9/EC = 24/8 ==> EC = 3

B) AD + DE + EC = 27 --> AD + 9 + 3 = 27 ==> AD = 15

Coloquei os resultados na regra da bissetriz: 15/x = 15/24-x --> x = 24-x ==>X= 12,

por intuição, como ficou os lados 12,15 e x, eu já coloquei 9. (Triângulo 3, 4 e 5), mas não há nenhuma informação de que lá é perpendicular, por isso, apesar de estar correta a resposta, eu não tenho um firmamento entende? quero saber o que garante que AF^D seja 90°.

por **Elcioschin** Sáb 28 Abr 2018, 13:59

Infelizmente, como não está em escala e não existe nenhuma informação a respeito, não dá para garantir que AFD é retângulo em F.

Com certeza o triângulo BEC não é retângulo em E, pois 8² + 3² ≠ 9²

por VesTeles Sáb 28 Abr 2018, 15:05

Entendi, mas quanto ao AFD ser retângulo não há nada que possa garantir? existe outra maneira de chegar no FD = 9?

por **Elcioschin** Sáb 28 Abr 2018, 18:30

POdemos até ver alguma soutras relações:

Sejam:

C^BE = BÂC = β e A^DF = B^DF = θ

A^FD = 180º - (β + θ) ---> B^FD = β + θ

F^BD = 180º - B^FD - B^DF ----> F^BD = 180º - (β + θ) - θ ---> F^BD = 180º - (β + 2.θ)

B^DE = 180º - 2.θ

A partir dai pode-se aplicar Lai dos senos em vários triângulos, usando AB = 24, AC = 3 e AD = 15, AF = BF = 12(que você calculou)