retangulos inscritos

Dentre todos os retangulos que podem ser inscritos em uma circunferencia, quel o de
maior área?


sem gabarito


Obrigado

Desenhe uma circunferência de centro O e raio R

Inscreva um retângulo qualquer ABCD, de lados AB = CD = a, AD = BC = b e e trace as duas diagonais.

Seja M o ponto médio de AB ----> AM = BM = a/2. Trace OM = b/2

No triângulo retângulo AMO ----> AM² + OM² = AO² ----> (a/2)² + (b/2)² = R² ---->

a² + b² = 4R² ----> b = (4R² - a²)^(1/2)


Área do retângulo ---> S = a*b ----> S = a*(4R² - a²)^(1/2)

Derivando/igualando a zero: S' = a*(1/2)*[(4R² - a²)^(-1/2)]*(-2a) + (4R² - a²)^(1/2)

0 = - a²/\/(4R² - a²) + \/(4² - a²) ----> a² = 4R² - a² ----> 2a² = 4R² ---> a² = 2*R²

a = R*V2

b = \/(4R² - 2R²) ----> b = \/(2R²) ----> b = R*V2

Assim, o retângulo de máxima área é um quadrado