Triângulos -Demonstração

por Anthony Curioni Sex 16 Fev 2018, 17:21

Considere um triângulo qualquer, com um ângulo interno φ, formado pelos lados a, b. Sabendo-se que a+b é constante, prove que c, o terceiro lado, será menor possível quando o triângulo for isósceles, ou seja, a = b.

por evandronunes Sex 16 Fev 2018, 21:32

Seja k \in \mathbb{R}, tal que a+b=k.

Pela Lei dos Cossenos, temos:

c^2=a^2+b^2-2ab.\cos \varphi

Substitui a=k-b na equação acima, logo:

c^2=(k-b)^2+b^2-2(k-b)b.\cos \varphi

c^2=k^2-2kb+b^2+b^2 -2k.(\cos \varphi) . b + 2(\cos \varphi) . b^2

c^2= (2\cos \varphi+2) . b^2 -(2k\cos \varphi+2k) . b+ k^2

Assim, temos que c está em função de b, tal que:

c(b)= \sqrt{(2\cos \varphi+2) . b^2 -(2k\cos \varphi+2k) . b+ k^2}

Observe que dentro do radicando temos uma função do segundo grau em b, logo basta calcular o menor valor de b para encontrarmos o c mínimo.

Portanto, o b vértice será:

b_v=-\frac{-(2k\cos \varphi+2k)}{2.(2\cos \varphi+2)}=\frac{2k(\cos \varphi+1)}{4.(\cos \varphi+1)}=\frac{k}{2} \ \ \ (\pi < \varphi < 0)

Logo, b=\frac{k}{2} \ \ \Rightarrow \ \ k = 2b.

E, como a+b=k, então a+b=2b, ou seja, a=b.

por Anthony Curioni Sáb 17 Fev 2018, 02:24

Muito obrigado.

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