relações trigonométricas

(cosx+cosy) / (senx-seny)=(senx+seny) / (cosx-cosy)

quero saber se essa relação é verdadeira

Boa noite!

Multiplicando-se cruzado:
\\\cos^2 x-\cos^2 y=\sin^2 x-\sin^2 y\\\cos^2 x-\cos^2 y=1-\cos^2 x-\left(1-\cos^2 y\right)\\\cos^2 x-\cos^2 y=1-\cos^2 x-1+\cos^2 y\\2\cos^2 x-2\cos^2 y=0\\\cos^2 x-\cos^2 y=0\\\cos^2 y=\cos^2 x\\cos y=\pm\cos x

Como a função cosseno é ímpar:
\cos y=\cos x

Resumindo:
y=x
ou
y=-x

Se tivermos y=x a relação da esquerda e a relação da direita terá denominador nulo e, se tivermos y=-x teremos o lado direito com denominador nulo. Portanto, não existe possibilidade dessa relação ser verdadeira.

Agora, poderíamos tentar 'transformar' a expressão da direita e da esquerda em uma expressão igual, que tal?

\dfrac{\cos x+\cos y}{\sin x-\sin y} (i)
e
\dfrac{\sin x+\sin y}{\cos x-\cos y} (ii)

Multiplicando e dividindo a (i) por \sin x + \sin y
\dfrac{\cos x+\cos y}{\sin x-\sin y}\cdot\dfrac{\sin x+\sin y}{\sin x+\sin y}=\dfrac{\left(\sin x+\sin y\right)\cdot\left(\cos x+\cos y\right)}{\sin^2x-\sin^2y}=\dfrac{\left(\sin x+\sin y\right)\cdot\left(\cos x+\cos y\right)}{1-\cos^2x-\left(1-\cos^2y\right)}=\dfrac{\left(\sin x+\sin y\right)\cdot\left(\cos x+\cos y\right)}{-\cos^2x+\cos^2y} (i)

Multiplicando e dividindo a (ii) por \cos x + \cos y
\dfrac{\sin x+\sin y}{\cos x-\cos y}\cdot\dfrac{\cos x+\cos y}{\cos x+\cos y}=\dfrac{\left(\sin x+\sin y\right)\cdot\left(\cos x+\cos y\right)}{\cos^2x-\cos^2y} (ii)

Portanto, as duas expressões são IGUAIS a despeito do sinal (uma é o oposto da outra).

Conclusão:
A expressão NÃO é verdadeira!

Espero ter ajudado!

(cosx + cosy).(cosx - cosy) = (senx - seny).((senx + seny) 

cos²x - cos²y = sen²x - sen²y

sen²y - cos²y = sen²x - cos²x

sen²y - (1 - sen²y) = sen²x - (1 - sen²x)

2.sen²y - 1 = 2.sen²x - 1

sen²y = sen²x ---> Existem duas possibilidades

seny = senx ---> não vale pois os denominadores da equação seriam nulos
ou 
seny = - senx

Logo, a relação não é sempre verdadeira (somente se y = - x)

Onde foi que errei em meu raciocínio, Elcio? Poderia me ajudar? Obrigado!

O erro está na passagem da 3ª para a 4ª linha, no 2º membro: 

1 - cos²x - 1 + cos²y ---> 1 - 1 = 0 e você colocou 2

Elcioschin escreveu:O erro está na passagem da 3ª para a 4ª linha, no 2º membro: 

1 - cos²x - 1 + cos²y ---> 1 - 1 = 0 e você colocou 2

Que mancada! Muito obrigado pelos olhos de águia, mestre!

Mestre Elcio!

Escrevi uma nova solução! Veja se a aprova! Obrigado!

Perfeito Baltuilhe. Sempre é bom, para quem aprende, ter mais de um tipo de solução. Isto abre a mente dos estudantes, para não ficarem bitolados com apenas um caminho.