Relações trigonométricas

por sasarete Dom 12 Mar 2017, 14:32

Se $sen\beta + cos\beta = \frac{\sqrt{2}}{3}$ onde $\frac{pi}{2}< \beta < pi$ , determine o valor de $sen\beta - cos\beta$

Agradeço desde já! Smile

por igorrudolf Dom 12 Mar 2017, 14:54

Olá sasarete, boa tarde.

Primeiramente, elevando os 2 lados da expressão ao quadrado:

$\sin \beta +\cos \beta=\frac{\sqrt{2}}{3}\rightarrow (\sin \beta +\cos \beta)^{2}=\frac{2}{9}\rightarrow \sin ^{2}\beta +2\sin \beta\cos \beta+\cos ^{2}\beta=\frac{2}{9}\rightarrow 1+2\sin \beta\cos \beta=\frac{2}{9}\rightarrow 2\sin \beta\cos \beta=\frac{-7}{9}$

Agora chamando de ''E'' o valor da expressão sin (β) - cos (β):
E = sin (β) - cos (β) e elevando essa expressão ao quadrado, temos:
$E^{2}=(\sin \beta-cos\beta )^{2}\rightarrow E^{2}=1-2\sin \beta\cos \beta$

Mas 2sin(β)cos(β) = -7/9, portanto:

$E^{2}=1-(\frac{-7}{9})\rightarrow E^{2}=\frac{16}{9}\rightarrow E=\pm \frac{4}{3}$

Agora, vamos analisar a condição passada pelo exercício que pi/2 < β < pi, isso nos diz que, β está no segundo quadrante e nesse quadrante o seno é positivo e o cosseno negativo. Como E = sin β - cos β, temos um número positivo subtraindo um número negativo, ou seja, uma soma de dois números positivos. Portanto o valor de ''E'' só pode ser positivo, nos deixando com a resposta E = sin β - cos β = 4/3

por sasarete Dom 12 Mar 2017, 15:15

igorrudolf escreveu:Olá sasarete, boa tarde.

Primeiramente, elevando os 2 lados da expressão ao quadrado:

$\sin \beta +\cos \beta=\frac{\sqrt{2}}{3}\rightarrow (\sin \beta +\cos \beta)^{2}=\frac{2}{9}\rightarrow \sin ^{2}\beta +2\sin \beta\cos \beta+\cos ^{2}\beta=\frac{2}{9}\rightarrow 1+2\sin \beta\cos \beta=\frac{2}{9}\rightarrow 2\sin \beta\cos \beta=\frac{-7}{9}$

Agora chamando de ''E'' o valor da expressão sin (β) - cos (β):
E = sin (β) - cos (β) e elevando essa expressão ao quadrado, temos:
$E^{2}=(\sin \beta-cos\beta )^{2}\rightarrow E^{2}=1-2\sin \beta\cos \beta$

Mas 2sin(β)cos(β) = -7/9, portanto:

$E^{2}=1-(\frac{-7}{9})\rightarrow E^{2}=\frac{16}{9}\rightarrow E=\pm \frac{4}{3}$

Agora, vamos analisar a condição passada pelo exercício que pi/2 < β < pi, isso nos diz que, β está no segundo quadrante e nesse quadrante o seno é positivo e o cosseno negativo. Como E = sin β - cos β, temos um número positivo subtraindo um número negativo, ou seja, uma soma de dois números positivos. Portanto o valor de ''E'' só pode ser positivo, nos deixando com a resposta E = sin β - cos β = 4/3

Obrigada, igorrudolf!

Estava precisando de um explicação detalhada e foi exatamente isso que você fez! Entendi, valeu! Very Happy