Vetores

por Cristina Lins Dom 11 Fev 2018, 16:23

Considerando o operador linear T(x,y)= (5x - y, x + 3y) e a base A={(1,2), (1,1)} calcule as coordenadas do vetor T(u) na base A, onde u = (-1,1)
A

por **LPavaNNN** Dom 11 Fev 2018, 19:22

$T^E_E=\begin{bmatrix} 5 & -1\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \\ T(1,0)=x_1.(1,2)+y_1(1,1)\\ (5,1)=(x_1+y_1,2x_1+y_1)\\x_1+y_1=5\\2x_1+y_1=1\\x_1=-4\\-4+y_1=5\\y_1=9\\T(0,1)=x_2(1,2)+y_2(1,1)\\(-1,3)=(x_2+y_2,2x_2+y_2)\\x_2+y_2=-1\\2x_2+y_2=3\\x_2=4\\y_2=-5\\T^E_S=\begin{bmatrix} -4 & 4\\ 9 & -5 \end{bmatrix}$

A transformação dada, leva um vetor da canônica para a própria canônica, ja o que fiz, é para achar a transformação que leva o vetor da canônica, para a base A, usei a letra S ali em vez de A, costume.

então, para saber as cordenas de T(u) em A, basta fazer a multiplicação da matriz encontrada por u:

$v=\begin{bmatrix} -4 & 4\\ 9 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1\\1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8 \\-14 \end{bmatrix}$

daria para fazer de um modo mais específico tbm: fazer a transformação e depois mudar o resultado de base:

T(-1,1)=(-6,2)

(-6,2)=x(1,2)+y(1,1)

x+y=-6
2x+y=2
x=8
y=-14

por Cristina Lins Dom 11 Fev 2018, 22:16

Oi Lucas, boa noite

Acompanhei o raciocínio, creio q entendi. Eu tinha chegado a (13,-9). O resultado que tenho é (-4,5). O resultado q eu achei, com certeza está errado. Corre o risco do gabarito estar incorreto?

por **LPavaNNN** Dom 11 Fev 2018, 23:13

EU fiz umas contas aqui, e notei que pra esse gabarito que vc me deu, o vetor dado n é dado na base canônica e sim na base A. Então u pertence a A e não à canônica como considerei.

nesse caso as contas seriam as seguintes:

$T(1,2)=x_1(1,2)+y_1(1,1)\\(3,7)=(x_1+y_1,2x_1+y_1)\\x_1=4\\y_1=-1\\T(1,1)=x_2(1,2)+y_2(1,1)\\x_2=0\\y_2=4\\T^A_A=\begin{bmatrix} 4 & 0\\ -1 &4 \end{bmatrix} v=\begin{bmatrix} 4 & 0\\ -1 &4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 \\1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -4\\5 \end{bmatrix}$

a Matriz encontrada é a matriz transformação na base A.

por **LPavaNNN** Dom 11 Fev 2018, 23:30

também poderia passar esse veotr de A para a base E, fazer a transformação, e passar o resultado de E para A:

$(x,y)=-1(1,2)+1(1,1)\\x=0\\y=-1 \\T(0,-1)=(1,-3) \\(1,-3)=x(1,2)+y(1,1)|\\x+y=1\\2x+y=-3\\x=-4\\y=5$