Calcule o volume do sólido

por **Forken** 10/2/2018, 3:33 am

Calcule o volume do sólido cuja base é um círculo de raio 1 e cujas seções transversais são triângulos equiláteros.

por **Giovana Martins** 10/2/2018, 10:47 am

O gabarito é 4/√3?

por **Giovana Martins** 10/2/2018, 2:01 pm

Eu pensei em dois jeitos (um acaba sendo derivado do outro). Vamos lá.

Para facilitar os cálculos tomemos a circunferência centrada na origem, x²+y²=1.

Agora, vamos pensar no caso em que só um arco dessa circunferência esteja definida no plano xy. Neste caso, a curva será descrita para equação y=√(1-x²). Note que y=√(1-x²) é uma semicircunferência e esta ordenada corresponde a metade do lado do triângulo equilátero. Sendo assim, o lado do triângulo equivale a L=2√(1-x²). Agora, vamos calcular a área do triângulo e, posteriormente, o volume do sólido.

Nota: eu calculei a área do triângulo daquele jeito, pois na hora eu não lembrava da fórmula da área do triângulo equilátero.

O outro jeito, que é praticamente a mesma coisa que o primeiro, é um pouco mais intuitivo, visto que, de início, eu não precisarei pensar na equação da semicircunferência. Veja:

Enfim, espero não ter errado nada.

por **Forken** 10/2/2018, 7:52 pm

Eu não tenho o gabarito.

por **Giovana Martins** 10/2/2018, 8:06 pm

De nada.

por **Forken** 10/2/2018, 11:03 pm

Por quê não multiplicou por 2, se os limites de integração estão de -1 a 1? Obrigado!

por **Giovana Martins** 10/2/2018, 11:19 pm

Forken, eu acho que eu não entendi a sua dúvida. De qualquer forma, eu irei te dar uma resposta. Veja se ela sana a sua dúvida, do contrário, é só falar. Bom, por simetria, se os limites de integração fossem 0 e 1 aí sim multiplicaríamos a integral por 2, uma vez que ao integrarmos de 0 até 1 "pegamos" apenas metade da circunferência. Desse modo, de -1 até 1 nós "pegamos" toda a circunferência sem haver, portanto, a necessidade de multiplicarmos a integral por 2.