Números naturais

Em uma turma do curso de medicina, 16 alunos fazem aniversário no mesmo dia, sendo que 8 têm a mesma idade e os outros são 2 ou 3 anos mais novos. No próximo aniversário deles, a soma de suas idades será 346 e a idade, em números inteiros de anos, de cada um dos alunos mais velho será
a) 20
b) 23
c) 22
d) 19
e) 21

Eu tentei montar uma equação assim
8x+ y(x-2) + z(x-3)= 346
y+z= 8, sendo as possibilidades para y e z iguais a (1;7), (2;6), (3;5), (4;4), e considerando que y e z podem ocupar quaisquer posição entre 1 e 7, 2 e 6 etc
Eu até consegui chegar na alternativa correta, mas fazendo por tentativa e erro.
Tem alguma outra forma de achar o resultado de maneira mais rápida??

x, x-2 e x-3 são as idades hoje
No próximo aniversário as idades serão x+1, x-1 e x-2

Seja k a quantidade daqueles que terão x-1 ---> 8 - k é a quantidade daqueles que terão x-2 

Obviamente 0 < k < 8 (já que existem dois tipos de mais novos)

8.(x + 1) + k.(x - 1) + (8 - k).(x - 2) = 346

8.x + 8 + k.x - k + 8.x - 16 - k.x + 2.k = 346

16.x - 8 + k = 346 ---> 16.x + k = 354

Obviamente k é par ---> k = 2, k = 4, k = 6

Para k = 2 ---> 16.x + 2 = 354 ---> x = 22
Para k = 4 ---> 16.x + 4 = 354 ---> x = 21,875 (não serve)
Para k = 6 ---> 16.x + 6 = 354 ---> x = 21,75 (não serve)

x = 22 (não coincidiu com o gabarito)

Coincidiu sim, porque a idade dos mais velhos vai ser x+1, então dá 23
Obrigada pela resolução!! Serve de base pra fazer vários outros