Fator de Valor Atual - SÉRIE VARIÁVEL

Encontre a expressão que atualiza para a data zero uma anuidade (série de depósitos) variável, com depósitos seguintes em progressão aritmética de razão igual ao primeiro depósito, periódica (intervalo entre um depósito e outro constante) e finita (quantidade 'n'), com o primeiro depósito ao término do primeiro período (renda postecipada). Usar taxa fixa 'i'.

Baltuilhe, este vou deixar para você, jota-r, Ivomilton ou os demais membros do fórum.

Sds.

baltuilhe escreveu:

Encontre a expressão que atualiza para a data zero uma anuidade (série de depósitos) variável, com depósitos seguintes em progressão aritmética de razão igual ao primeiro depósito, periódica (intervalo entre um depósito e outro constante) e finita (quantidade 'n'), com o primeiro depósito ao término do primeiro período (renda postecipada). Usar taxa fixa 'i'.

DEMONSTRAÇÃO DAS EQUAÇÕES DO VALOR PRESENTE DE ANUIDADES EM PROGRESSÃO ARITMÉTICA


1 - Introdução.

O presente texto tratará da demonstração da expressão que atualiza para a data atual, isto é, descapitaliza para o valor presente, uma série de pagamentos, recebimentos ou depósitos com valores em progressão aritmética, num prazo de iguais períodos de tempo, sob determinada taxa de juros, tanto para progressões crescentes como decrescentes.

Cabe ressaltar que aqui será adotado o regime de juros compostos, no qual os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte e, no que couber, para as variáveis será adotada a notação encontrada na maioria das calculadoras financeiras.

É oportuno frisar que a se começar do "zero", o texto ficaria demasiadamente longo. Portanto, como o objetivo é o ensino médio, será considerado que conceitos básicos são tidos como já de conhecimento dessa população-alvo.


2 - Séries Financeiras Variáveis.

Os conceitos de pagamentos, ou recebimentos, realizados de forma parcelada foram vistos em outro texto mostrado em https://pir2.forumeiros.com/t144477-fator-de-valor-atual-serie-constante#508638 , onde foram apresentados conceitos básicos de séries financeiras uniformes, seus termos ou prestações, valor presente (PV), valor futuro (FV), taxa de juros (i) e o número de períodos de tempo (n), tanto para séries postecipadas quanto antecipadas. Portanto o presente texto não contemplará esta conceituação basilar.

De uma forma geral pode-se dizer que os termos de uma série de pagamentos ou recebimentos, podem variar basicamente duas formas:

a) De acordo com lei de formação matemática (variação em progressão aritmética, geométrica, etc.);

b) Sem obediência a qualquer lei de formação matemática (variação aleatória).

Segundo o autor Vieira Sobrinho, em seu livro "Matemática Financeira", Atlas, 1993, as séries em progressão geométrica ainda não têm nenhuma aplicação conhecida no Brasil. Nas séries com variação aleatória, a forma de obter o seu valor presente ou futuro seria calculá-los individualmente, para cada termo da série. Assim, o presente texto cuidará tão somente de séries financeiras em progressão aritmética, postecipadas.


3 - Séries Financeiras em Progressão Aritmética Crescente.

Uma série financeira é dita estar em progressão aritmética crescente, quando o conjunto de suas parcelas, pagamentos ou recebimentos, se caracteriza por um crescimento em progressão aritmética, onde a diferença entre duas parcelas consecutivas é constante e denominada de "razão" ou "gradiente". Normalmente a razão é representada por "G" e o primeiro termo por "p", notação que será adotada no presente texto.

Assim, o primeiro termo da série tem o valor "p", o segundo "p+G", o terceiro "p+2G", o quarto "p+3G" e assim sucessivamente até o último termo com valor "p+(n-1)G", conforme ilustra o fluxo de caixa a seguir, onde "n" é o número de parcelas da série.



Desta forma, então, o que se observa é que este tipo de série pode ser desmembrada em "n" séries uniformes.


4 - Valor Presente de Séries Financeiras em Progressão Aritmética Crescente.

Sabe-se que o valor futuro de uma série financeira é obtido pela soma das capitalizações de seus termos. De forma recíproca, o valor presente da série será determinado pela soma das descapitalizações destes destes mesmos termos. Então, se este valor futuro representa uma serie capitalizada, pode-se dizer que o valor presente representa a descapitalização deste valor futuro, ou seja:

PV = \frac{FV}{(1+i)^n}                                                                                            (1)

Como já demonstrado em https://pir2.forumeiros.com/t144480-fator-de-acumulacao-de-capital-variavel#508856 o valor futuro de uma série postecipada de pagamentos, recebimentos, depósitos ou saques, com valores em progressão aritmética crescente, realizada num prazo de iguais períodos de tempo, sob determinada taxa de juros compostos, é dado pela seguinte equação:

FV = p\left[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\right]+\frac{G}{i}\left[ \frac{(1+i)^n-1}{i}-n\right]                                                 (2)

Substituindo a eq. (2) na eq. (1), tem-se:

\boxed{ PV = \frac{p\left[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\right] + \frac{G}{i}\left[ \frac{(1+i)^n-1}{i}-n\right]}{(1+i)^n} }                                                            (3)

A eq. (3) corresponde à expressão que atualiza para a data atual (data do início da operação), ou ao valor presente (PV), uma série de depósitos ou prestações consecutivas, postecipadas, em progressão aritmética crescente, de razão (G), a ser realizada ao longo de (n) períodos iguais de tempo, sob certa taxa de juro composto (i), tendo (p) como o valor da primeira parcela.


5 - Séries Financeiras em Progressão Aritmética Decrescente.

Uma série financeira é dita estar em progressão aritmética decrescente, quando o conjunto de suas parcelas, pagamentos ou recebimentos, se caracteriza por um decréscimo em progressão aritmética, onde a diferença entre duas parcelas consecutivas é constante e denominada de "razão" ou "gradiente". Normalmente a razão é representada por "G" e o primeiro termo por "p".

Assim, reciprocamente ao exposto no tópico 3, o primeiro valor da série é composto de um termo constante igual a "p", o segundo valor é composto de um termo constante igual a "p-G", o terceiro "p-2G", o quarto "p-3G" e assim sucessivamente até o último termo com valor "p-(n-1)G", onde "n" é o número de parcelas da série.

Então, similarmente à série crescente, o que se observa é que as séries decrescentes podem também ser desmembradas em "n" séries uniformes.


6 - Valor Presente de Séries Financeiras em Progressão Aritmética Decrescente.

Conforme demonstrado em https://pir2.forumeiros.com/t144480-fator-de-acumulacao-de-capital-variavel#508856 , em termos de equação matemática, o que diferencia uma série em progressão aritmética crescente de uma decrescente, é justamente o sinal do gradiente e nada mais. Então, com base nesta constatação fática, se a eq. (3) representa a série crescente, a série decrescente será representada por:

\boxed{ PV = \frac{p\left[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\right] - \frac{G}{i}\left[\frac{(1+i)^n-1}{i}-n\right]}{(1+i)^n} }                                                            (4)

Logo, a eq. (4) corresponde à expressão que atualiza para a data atual (data do início da operação), ou ao valor presente (PV), uma série de depósitos ou prestações consecutivas, postecipadas, em progressão aritmética decrescente, de razão (G), a ser realizada ao longo de (n) períodos iguais de tempo, sob certa taxa de juro composto (i), tendo (p) como o valor da primeira parcela.


c.q.d.

LC - 23/02/2018.

Caro Baltuilhe.

Na demonstração acima apresentada não utilizei o modo clássico de dedução passo a passo das fórmulas. Utilizei, sim, o método da analogia, aproveitando demonstrações similares já anteriormente realizadas, aliás, como, de outra feita, você mesmo já havia sugerido.

Sds.