Fator de Valor Atual - SÉRIE CONSTANTE

Encontre a expressão que atualiza para a data zero uma anuidade (série de depósitos) constante, periódica (intervalo entre um depósito e outro constante) e finita (quantidade 'n'), com o primeiro depósito ao término do primeiro período (renda postecipada).
Usar taxa fixa 'i'.

DEMONSTRAÇÃO DAS EQUAÇÕES DOS VALORES PRESENTE E FUTURO DE UMA ANUIDADE

Caro Baltuilhe.

No presente texto será tratado não só da demonstração da expressão que atualiza para a data inicial uma série de pagamentos, recebimentos ou depósitos, postecipados, de valor constante, num prazo de iguais períodos de tempo, sob determinada taxa de juros, como também da expressão que atualiza a série para a data final do referido prazo.

Cabe ressaltar que aqui será adotado o regime de juros compostos, no qual os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Ressalte-se também que, para as variáveis, aqui será adotada a nomenclatura encontrada na maioria das calculadoras financeiras.

É oportuno frisar que se formos começar do "zero", o texto ficaria demasiadamente longo. Portanto, como temos como objetivo o ensino médio, iremos partir de algumas premissas e conceitos tidos já como de conhecimento dessa população-alvo.


1 - Valor Presente e Valor Futuro de uma Quantia Única:

Tem-se por Valor futuro (FV), ou montante, de uma quantia única (não de uma série), a importância a ser quitada em um único pagamento, ou recebimento, em decorrência de um valor presente (PV), ou capital, investido ou financiado por um prazo de (n) períodos de tempo, mediante certa taxa de juros compostos (i) por período, e que é dado por:

FV = PV(1+i)^n                         (1)

Portanto a eq. (1) será utilizada para se obter o montante ou o valor futuro a ser pago ou recebido, de uma só vez, à certa taxa de juros, por determinado valor inicial, ao final do prazo estabelecido.

Reciprocamente, o valor presente (PV) é a importância que se investida ou financiada por um prazo de (n) períodos de tempo, mediante uma taxa de juros compostos (i) por período, proporcionará ao final do referido prazo o resgaste, em uma só vez, de um montante ou valor futuro (FV), que é dado por:

PV = FV(1+i)^{-n}                         (2)

A eq. (2), portanto, será utilizada para se obter o valor inicial ou o valor presente, financiado ou investido, à certa taxa de juros, que propiciará um determinado montante ou valor futuro, a ser pago ou recebido de uma só vez, ao final do prazo estabelecido.


2 – Séries Financeiras Uniformes.

Até o momento, foi visto o pagamento, ou recebimento, de um capital, de uma só vez, após um determinado período de tempo. A seguir será verificado como ocorrem esses pagamentos, ou recebimentos, se realizados, não de uma só vez, mas de forma parcelada.

A sucessão de pagamentos, recebimentos ou depósitos, parcelados, é denominada série financeira. Diz-se que uma série financeira é uniforme quando constituída de pagamentos ou recebimentos periódicos iguais, iniciados no período 1 e terminados no período n.

Uma série financeira pode ter por objetivo o pagamento ou recebimento de uma dívida, de uma compra a prazo ou de um financiamento, o que caracteriza uma amortização. Pode também se destinar à constituição de um capital ou à formação de uma poupança, o que caracteriza uma capitalização.

Cada parcela de uma série de pagamentos ou recebimentos, saques ou depósitos, é denominada prestação. Aqui então surge uma nova variável que será representada pela sigla (PMT), que representará as referidas parcelas periódicas.

Uma série financeira é dita postecipada quando os pagamentos, ou recebimentos, ocorrem no fim de cada período e não no início. Na série antecipada os pagamentos são realizados no início de cada período respectivo. Já a série diferida é constituída de um prazo de carência que separa o início da operação e o período de pagamento da primeira parcela. As séries aqui vistas serão do tipo postecipado, salvo se houver menção em contrário.


3 - Valor Futuro de Séries Financeiras Uniformes.

Ao longo de um prazo estabelecido, ocorrem consecutivamente "n" depósitos, prestações ou pagamentos postecipados PMT₁, PMT₂, PMT₃, ... , PMT_n.

Se aplicada a eq. (1) a cada uma destas parcelas, ao final dos "n" períodos de tempo, obtém-se o seguinte montante ou valor futuro:

\small{FV = PMT_1(1+i)^{n-1} + PMT_2(1+i)^{n-2} + PMT_3(1+i)^{n-3} + ... + PMT_{n-1}(1+i)^1 + PMT_n(1+i)^0}

(lembrando que por ser postecipado, a última parcela do valor futuro não é capitalizada).

Assim, se:

PMT_1 = PMT_2 = PMT_3 = ... = PMT_n = PMT (série uniforme)

então:

\small{FV = PMT(1+i)^{n-1} + PMT(1+i)^{n-2} + PMT(1+i)^{n-3} + ... + PMT(1+i)^1 + PMT(1+i)^0}

FV = PMT\Big[(1+i)^{n-1} + (1+i)^{n-2} + (1+i)^{n-3} + ... + (1+i)^1 + 1\Big]

ou:

FV = PMT\cdot\Big[1 + (1+i)^1 + ... + (1+i)^{n-3} + (1+i)^{n-2} + (1+i)^{n-1}\Big]

A expressão entre colchetes corresponde à soma dos termos de uma PG, de razão (1+i), dada por:

S_n = a_1 \cdot \frac{(q^n -1)}{q-1} = 1 \cdot \frac{(1+i)^n -1}{i}

Substituindo S_n na equação imediatamente anterior:

\boxed{ FV = PMT\cdot\frac{(1+i)^n -1}{i} }                (3)

A eq. (3) corresponde ao valor futuro (FV), ou montante, a ser pago ou recebido mediante uma série de depósitos ou prestações uniformes de valor (PMT), a serem realizadas ao longo de (n) períodos consecutivos de tempo, sob certa taxa de juros (i).

Corresponde também à expressão que atualiza para a data final (data do término da operação), uma série de depósitos ou prestações uniformes de valor (PMT), a serem realizadas ao longo de (n) períodos consecutivos de tempo, remunerados a uma dada taxa de juros (i).

Aplica-se a operações financeiras de investimentos, poupança, fundos, consórcios, etc.


4 – Valor Presente de Séries Financeiras Uniformes.

Reciprocamente ao exposto no tópico 3, em decorrência de depósitos, prestações ou pagamentos postecipados "PMT" realizados consecutivamente ao longo de "n" períodos de tempo, aplicando-se a eq. (2) a cada parcela, obtém-se o seguinte valor presente:

PV = PMT \cdot \Big[(1+i)^{-1} + (1+i)^{-2} + (1+i)^{-3} + ... + (1+i)^{-n}\Big]

ou:

PV = PMT \cdot \Big[(1+i)^{-n} + (1+i)^{-n+1} + (1+i)^{-n+2} + ... + (1+i)^{-1}\Big]

A expressão entre colchetes corresponde à soma dos termos de uma PG, de razão (1+i), dada por:

S_n = a_1 \cdot \frac{(q^n -1)}{q-1} = (1+i)^{-n}\cdot \frac{(1+i)^n -1}{i} = \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}

Substituindo S_n na equação imediatamente anterior:

\boxed{PV = PMT \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}}                 (4)

A eq. (4) corresponde ao valor presente (FV), ou valor atual ou inicial, de uma quantia futura, que se quitará em depósitos ou prestações uniformes de valor (PMT), realizadas em (n) períodos consecutivos de tempo, a uma dada taxa de juros (i).

Corresponde também à expressão que atualiza para a data atual (data zero), uma série de depósitos ou prestações uniformes de valor (PMT), a serem realizadas ao longo de (n) períodos consecutivos de tempo, remunerados a uma dada taxa de juros (i).

Aplica-se a operações financeiras de financiamentos, empréstimos, compras a prazo, amortizações, etc.

c.q.d.

Luiz, boa tarde!

Texto muito bem escrito, parabéns!

De forma a deixar uma parcela de contribuição aos estudantes que se aventurarem pelas veredas da matemática financeira, deixarei abaixo dois raciocínios financeiros para obter as mesmas expressões que demonstrou pela matemática, Luiz.

Raciocínio financeiro para Fator de Valor Atual:
Sem perda de generalidade imaginemos um depósito no valor unitário realizado no período zero. Sendo a taxa de rendimento igual a 'i' podemos retirar no fim de cada período uma renda igual ao juro da unidade de capital durante um período, ou seja, uma renda igual a 'i', recuperando ainda a unidade de capital no fim do período 'n'.
Então, tomando-se os valores atuais na época zero e à taxa i, teremos:
1 = \underbrace{ \dfrac{ i }{ 1 + i } + \dfrac{ i }{ ( 1 + i ) ^ { 2 } } + \dfrac{ i }{ ( 1 + i ) ^ { 3 } } + \ldots + \dfrac{ i }{ ( 1 + i ) ^ { n } } } _ { \text{ uma serie de 'n' valores iguais a 'i' } } + \underbrace{ \dfrac{ 1 }{ ( 1 + i ) ^ { n } } } _ { \text{ valor unitario na data 'n' } }

Colocando o 'i' em evidência:
1 = i \cdot \left[ \dfrac{ 1 }{ 1 + i } + \dfrac{ 1 }{ ( 1 + i ) ^ { 2 } } + \dfrac{ 1 }{ ( 1 + i ) ^ { 3 } } + \ldots + \dfrac{ 1 }{ ( 1 + i ) ^ { n } } \right] + ( 1 + i ) ^ { -n }

Chamando-se o fator de valor atual de a "cantoneira" (assim, como abaixo):
a_{ \overline{ n } | i } = \dfrac{ 1 }{ 1 + i } + \dfrac{ 1 }{ ( 1 + i ) ^ { 2 } } + \dfrac{ 1 }{ ( 1 + i ) ^ { 3 } } + \ldots + \dfrac{ 1 }{ ( 1 + i ) ^ { n } }

Poderemos substituir na relação inicial:
1 = i \cdot \underbrace{ \left[ \dfrac{ 1 }{ 1 + i } + \dfrac{ 1 }{ ( 1 + i ) ^ { 2 } } + \dfrac{ 1 }{ ( 1 + i ) ^ { 3 } } + \ldots + \dfrac{ 1 }{ ( 1 + i ) ^ { n } } \right] } _ { a_{ \overline{ n } | i } } + ( 1 + i ) ^ { -n }
1 = i \cdot a_{ \overline{ n } | i } + ( 1 + i ) ^ { -n }

Agora, isolando-se o a "cantoneira":
\boxed{ a_{ \overline{ n } | i } = \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i } }

Então, para uma série de valores depositados podemos 'atualizar' para a data zero multiplicando-se pelo a "cantoneira". Assim, a fórmula pode ser escrita, agora:
\boxed{ \boxed{ PV = PMT \cdot a_{ \overline{ n } | i } } }

Raciocínio financeiro para Fator de Acumulação de Capital:
Imaginando o mesmo fluxo de caixa anteriormente proposto, mas, agora, tomando-se os valores atualizados para a época 'n' e à taxa i, teremos:
1 \cdot ( 1 + i ) ^ n = i \cdot ( 1 + i ) ^ { n - 1 } + i \cdot ( 1 + i ) ^ { n - 2 } + \ldots + i \cdot ( 1 + i ) ^ { 1 } + i + 1

Colocando o 'i' em evidência:
1 \cdot ( 1 + i ) ^ n = i \cdot \left[ ( 1 + i ) ^ { n - 1 } + ( 1 + i ) ^ { n - 2 } + \ldots + ( 1 + i ) ^ { 1 } + 1 \right] + 1

Chamando-se o fator de acumulação de capital de s "cantoneira" (assim, como abaixo):
s_{ \overline{ n } | i } = ( 1 + i ) ^ { n - 1 } + ( 1 + i ) ^ { n - 2 } + \ldots + ( 1 + i ) ^ { 1 } + 1

Poderemos substituir na relação inicial:
1 \cdot ( 1 + i ) ^ n = i \cdot \underbrace{ \left[ ( 1 + i ) ^ { n - 1 } + ( 1 + i ) ^ { n - 2 } + \ldots + ( 1 + i ) ^ { 1 } + 1 \right] } _ { s_{ \overline{ n } | i } } + 1
( 1 + i ) ^ n = i \cdot s_{ \overline{ n } | i } + 1

Agora, isolando-se o s "cantoneira":
\boxed{ s_{ \overline{ n } | i } = \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }{ i } }

Então, para uma série de valores depositados podemos 'capitalizar' para a data final multiplicando-se pelo s "cantoneira". Assim, a fórmula pode ser escrita, agora:
\boxed{ \boxed{ FV = PMT \cdot s_{ \overline{ n } | i } } }

c.b.d.

Baltuilhe.

Só não entendi por que você fez a premissa de que:

a_{\overline{n}|i}= \frac{1}{1+i}+\frac{1}{(1+i)^1}+\frac{1}{(1+i)^2}+\frac{1}{(1+i)^3}+...+\frac{1}{(1+i)^n}

Quando sabemos que por definição:

a_{\overline{n}|i}= \frac {1-(1+i)^{-n}}{i}

Idem para s_{\overline{n}|i}.

Sds.

Luiz, boa noite!

A proposta do raciocínio financeiro para encontrar a fórmula é a de encontrar dois fluxos de caixa equivalentes e realizar a comparação entre os mesmos.
A fórmula abaixo:
a_{ \overline{ n } | i } = \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i }

É empregada em:
PV = PMT \cdot a_{ \overline{ n } | i }

E o que representa a fórmula a "cantoneira" então? Um 'fator' que transforma um fluxo de caixa de 'n' depósitos iguais a PMT, com o primeiro depósito no final do primeiro período em um valor atual na data zero.

No fluxo que mostrei temos na data zero o valor unitário que é equivalente a n pagamentos/depósitos iguais a 'i' e mais um pagamento/depósito igual a 1 na data n.
Ora, atualizar 'n' pagamentos iguais a 'i' na data zero é o mesmo que i \cdot a_{ \overline{ n } | i }, certo?
Então:
1 = i \cdot a_{ \overline{ n } | i } + \dfrac{ 1 }{ \left( 1 + i \right) ^ { n } }

Daí, só 'isolar' o fator a "cantoneira" para obter a fórmula sem ter feito nenhuma conta de somatório de P.G., entendeu?

Espero que tenha explanado sua dúvida!

Obs.: O mesmo raciocínio para s "cantoneira".

Sds.