Fator de Acumulação de Capital - VARIÁVEL

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Fator de Acumulação de Capital - VARIÁVEL

Mensagem por baltuilhe em Sab Fev 03 2018, 08:49

Encontre a expressão que capitaliza para a data 'final' uma anuidade (série de depósitos) variável, com depósitos seguintes em progressão aritmética de razão igual ao primeiro depósito, periódica (intervalo entre um depósito e outro constante) e finita (quantidade 'n'), com o primeiro depósito ao término do primeiro período (renda postecipada). Usar taxa fixa 'i'.
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Re: Fator de Acumulação de Capital - VARIÁVEL

Mensagem por Luiz 2017 em Seg Fev 05 2018, 17:39

@baltuilhe escreveu:Encontre a expressão que capitaliza para a data 'final' uma anuidade (série de depósitos) variável, com depósitos seguintes em progressão aritmética de razão igual ao primeiro depósito, periódica (intervalo entre um depósito e outro constante) e finita (quantidade 'n'), com o primeiro depósito ao término do primeiro período (renda postecipada). Usar taxa fixa 'i'.


DEMONSTRAÇÃO DAS EQUAÇÕES DO VALOR FUTURO DE ANUIDADES EM PROGRESSÃO ARITMÉTICA



1 - Introdução.

O presente texto tratará da demonstração da expressão que atualiza para a data final uma série de pagamentos, recebimentos ou depósitos, postecipados, de valores em progressão aritmética, num prazo de iguais períodos de tempo, sob determinada taxa de juros, tanto para progressões crescentes como decrescentes.

Cabe ressaltar que aqui será adotado o regime de juros compostos, no qual os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte e, no que couber, para as variáveis será adotada a notação encontrada na maioria das calculadoras financeiras.

É oportuno frisar que se formos começar do "zero", o texto ficaria demasiadamente longo. Portanto, como temos como objetivo o ensino médio, iremos partir de algumas premissas e conceitos tidos como já de conhecimento dessa população-alvo.


2 - Séries Financeiras Variáveis.

Os conceitos de pagamentos, ou recebimentos, realizados de forma parcelada foram vistos em outro texto mostrado aqui https://pir2.forumeiros.com/t144477-fator-de-valor-atual-serie-constante#508638 , onde viu-se os conceitos básicos de séries financeiras uniformes, seus termos ou prestações, valor presente (PV), valor futuro (FV), taxa de juros (i) e o número de períodos de tempo (n). Portanto o presente texto não contemplará esta conceituação basilar.

De uma forma geral pode-se dizer que os termos de uma série de pagamentos ou recebimentos, podem variar basicamente duas formas:

a) De acordo com lei de formação matemática (variação em progressão aritmética, geométrica, etc.);

b) Sem obediência a qualquer lei de formação matemática (variação aleatória).

Segundo o autor Vieira Sobrinho, em seu livro "Matemática Financeira", Atlas, 1993, as séries em progressão geométrica ainda não têm nenhuma aplicação conhecida no Brasil. Nas séries com variação aleatória, a forma de obter o seu valor presente ou futuro seria calculá-los individualmente, para cada termo da série. Assim, o presente texto cuidará tão somente de séries financeiras postecipadas em progressão aritmética.


3 - Séries Financeiras em Progressão Aritmética Crescente.

Uma série financeira é dita estar em progressão aritmética crescente, quando o conjunto de suas parcelas, pagamentos ou recebimentos, se caracteriza por um crescimento em progressão aritmética, onde a diferença entre duas parcelas consecutivas é constante e denominada de "razão" ou "gradiente". Normalmente a razão é representada por "G" e o primeiro termo por "p", notação que será adotada no presente texto.

Assim, o primeiro termo da série tem o valor "p", o segundo "p+G", o terceiro "p+2G", o quarto "p+3G" e assim sucessivamente até o último termo com valor "p+(n-1)G", conforme ilustra o fluxo de caixa a seguir, onde "n" é o número de parcelas da série.



Desta forma, então, o que se observa é que este tipo de série pode ser desmembrada em "n" séries uniformes.


4 - Valor Futuro de Séries Financeiras em Progressão Aritmética Crescente.

Se aplicada a eq. (3) do texto constante do link indicado no tópico 2 acima, a cada um dos termos separadamente, obtém-se:

\small{FV = p\left[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\right]+G\left[\frac{(1+i)^{n-1}-1}{i}\right]+G\left[\frac{(1+i)^{n-2}-1}{i}\right]+ ... +G\left[\frac{(1+i)-1}{i}\right]}

Colocando G/i em evidência:

\small{FV = p\left[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\right]+\frac{G}{i}\Big[(1+i)^{n-1}-1+(1+i)^{n-2}-1+(1+i)^{n-3}-1+ ... +(1+i)-1\Big]}

\small{FV = p\left[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\right]+\frac{G}{i}\Big[(1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+(1+i)^{n-3}+ ... +(1+i)-n+1\Big]}

\small{FV = p\left[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\right]+\frac{G}{i}\Big[ (1+i)+(1+i)^{2}+(1+i)^{3}+ ... +(1+i)^{n-2}+(1+i)^{n-1} -n+1\Big]}

Os termos em parênteses dentro dos colchetes correspondem à soma de uma PG de (n-1) termos, com razão e 1º termo iguais a (1+i), dada por:

\small{S_N = a_1\cdot\frac{q^N-1}{q-1} = (1+i)\cdot\frac{(1+i)^{n-1}-1}{(1+i)-1} = \frac{(1+i)^{n}-1-i}{i} = \frac{(1+i)^{n}-1}{i}- \frac{i}{i} = \frac{(1+i)^n-1}{i}-1}

Substituindo SN na equação imediatamente anterior:

FV = p\left[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\right]+\frac{G}{i}\left[ \frac{(1+i)^n-1}{i}-1 -n+1\right]

\boxed{FV = p\left[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\right]+\frac{G}{i}\left[ \frac{(1+i)^n-1}{i}-n\right] }                                (1)

A eq. (1) corresponde à expressão que atualiza para a data final (data do término da operação), ou ao valor futuro (FV), ou montante, a ser pago ou recebido mediante uma série de depósitos ou prestações em progressão aritmética crescente, de razão (G), a ser realizada ao longo de (n) períodos consecutivos de tempo, sob certa taxa de juros (i), tendo (p) como primeira parcela.


4.1 - Série em PA crescente com a razão igual à primeira parcela.

Se a razão for igual ao primeiro depósito, isto é, se p=G, então a eq. (1) assume a seguinte forma:

FV = G\left[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\right] + \frac{G}{i}\left[ \frac{(1+i)^n-1}{i}-n\right]

FV = \frac{G}{i}\left[(1+i)^{n}-1 + \frac{(1+i)^n-1}{i}-n\right]

FV = \frac{G}{i}\left[\frac{i\cdot(1+i)^n + (1+i)^n-1}{i} - n - 1\right]

FV = \frac{G}{i}\left[\frac{(1+i)^n\cdot(1+i)-1}{i} - n - 1\right]

\boxed{FV = \frac{G}{i}\left[\frac{(1+i)^{n+1}-1}{i} - n - 1\right]}                                    (1-A)

A eq. (1-A) corresponde à expressão que atualiza para a data final (data do término da operação), ou ao valor futuro (FV), ou montante, a ser pago ou recebido mediante uma série de depósitos ou prestações em progressão aritmética crescente, de razão (G) igual à primeira parcela, a ser realizada ao longo de (n) períodos consecutivos de tempo, sob certa taxa de juros (i).


5 - Séries Financeiras em Progressão Aritmética Decrescente.

Uma série financeira é dita estar em progressão aritmética decrescente, quando o conjunto de suas parcelas, pagamentos ou recebimentos, se caracteriza por um decrescimento em progressão aritmética, onde a diferença entre duas parcelas consecutivas é constante e denominada de "razão" ou "gradiente". Normalmente a razão é representada por "G" e o primeiro termo por "p".

Assim, reciprocamente ao exposto no tópico 3, o primeiro valor da série é composto de um termo constante igual a "p", o segundo valor é composto de um termo constante igual a "p-G", o terceiro "p-2G", o quarto "p-3G" e assim sucessivamente até o último termo com valor "p-(n-1)G", onde "n" é o número de parcelas da série.

Então, de forma similar ao procedimento adotado na série crescente, o que se observa é que as séries decrescentes podem também serem desmembradas em "n" séries uniformes.


6 - Valor Futuro de Séries Financeiras em Progressão Aritmética Decrescente.

Se aplicada a eq. (3) do texto constante do link indicado no tópico 2 acima, a cada um desses termos separadamente, obtém-se:

\small{FV = p\left[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\right] - G\left[\frac{(1+i)^{n-1}-1}{i}\right] - G\left[\frac{(1+i)^{n-2}-1}{i}\right]- ... -G\left[\frac{(1+i)-1}{i}\right]}

Colocando G/i em evidência:

\small{FV = p\left[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\right] - \frac{G}{i}\Big[(1+i)^{n-1}-1+(1+i)^{n-2}-1+(1+i)^{n-3}-1+ ... +(1+i)-1\Big]}

\small{FV = p\left[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\right] - \frac{G}{i}\Big[(1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+(1+i)^{n-3}+ ... +(1+i)-n+1\Big]}

\small{FV = p\left[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\right] - \frac{G}{i}\Big[ (1+i)+(1+i)^{2}+(1+i)^{3}+ ... +(1+i)^{n-2}+(1+i)^{n-1} -n+1\Big]}

Os termos em parênteses dentro dos colchetes correspondem à soma de uma PG de (n-1) termos, com razão e 1º termo iguais a (1+i), dada por:

\small{S_N = a_1\cdot\frac{q^N-1}{q-1} = (1+i)\cdot\frac{(1+i)^{n-1}-1}{(1+i)-1} = \frac{(1+i)^{n}-1-i}{i} = \frac{(1+i)^{n}-1}{i}- \frac{i}{i} = \frac{(1+i)^n-1}{i}-1}

Substituindo SN na equação imediatamente anterior:

FV = p\left[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\right] - \frac{G}{i}\left[ \frac{(1+i)^n-1}{i}-1 -n+1\right]

\boxed{FV = p\left[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\right] - \frac{G}{i}\left[ \frac{(1+i)^n-1}{i}-n\right]}                            (2)

A eq. (2) corresponde à expressão que atualiza para a data final (data do término da operação), ou ao valor futuro (FV), ou montante, a ser pago ou recebido mediante uma série de depósitos ou prestações em progressão aritmética crescente, de razão (G), a ser realizada ao longo de (n) períodos consecutivos de tempo, sob certa taxa de juros (i), tendo (p) como primeira parcela.

Nota: por óbvio, no cálculo do valor futuro de séries decrescentes em PA, não é possível ter-se a razão igual ou maior que o primeio depósito, visto que resultariam em valores nulos ou negativos.

c.q.d.

LC - 05/02/2018.


Última edição por Luiz 2017 em Seg Fev 05 2018, 21:53, editado 1 vez(es)

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Re: Fator de Acumulação de Capital - VARIÁVEL

Mensagem por baltuilhe em Seg Fev 05 2018, 20:15

Boa noite, Luiz!

Mais uma vez, um tópico com muita classe! Parabéns!

Para dar um 'piteco' na sua resolução, nos itens 5 e 6, queria só que percebe-se que da forma como elaborou o problema poderiamos ter resolvido a progressão decrescente simplesmente trocando-se o sinal do gradiente na progressão crescente, concorda?
Veja:
Gradiente Crescente:
FV = p \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1}{ i } \right] + \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1}{ i } - n \right]

Gradiente Decrescente:
FV = p \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1}{ i } \right] - \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1}{ i } - n \right]

Pois em ambas tomou-se 'p' como o primeiro termo. É interessante calcular para um Gradiente Decrescente tomando-se 'p' como último termo, para daí encontrar a relação:
FV = p \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1}{ i } \right] + \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ n \cdot \left( 1 + i \right) ^ { n } - \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n + 1 } - 1}{ i } + 1 \right]

Espero ter contribuído!

Obs.: Já vou montar outro post com a solução 'financeira' para o problema! Smile

Sds.
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Re: Fator de Acumulação de Capital - VARIÁVEL

Mensagem por Luiz 2017 em Seg Fev 05 2018, 20:41

@baltuilhe escreveu:Boa noite, Luiz!

Mais uma vez, um tópico com muita classe! Parabéns!

Para dar um 'piteco' na sua resolução, nos itens 5 e 6, queria só que percebe-se que da forma como elaborou o problema poderiamos ter resolvido a progressão decrescente simplesmente trocando-se o sinal do gradiente na progressão crescente, concorda?
Veja:
Gradiente Crescente:
FV = p \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1}{ i } \right] + \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1}{ i } - n \right]

Gradiente Decrescente:
FV = p \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1}{ i } \right] - \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1}{ i } - n \right]

Concordo. Aliás todos nós sabemos (veja aqui https://pir2.forumeiros.com/t143871-formulario#506050 ). Só que você está afirmando isto (troca de sinal) sem comprovação. O que eu fiz foi justamente demonstrar isto. Afinal, é este o objetivo da questão proposta. Esqueceu deste detalhe?

Sds.

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Re: Fator de Acumulação de Capital - VARIÁVEL

Mensagem por baltuilhe em Seg Fev 05 2018, 20:55

@Luiz 2017 escreveu:
@baltuilhe escreveu:Boa noite, Luiz!

Mais uma vez, um tópico com muita classe! Parabéns!

Para dar um 'piteco' na sua resolução, nos itens 5 e 6, queria só que percebe-se que da forma como elaborou o problema poderiamos ter resolvido a progressão decrescente simplesmente trocando-se o sinal do gradiente na progressão crescente, concorda?
Veja:
Gradiente Crescente:
FV = p \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1}{ i } \right] + \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1}{ i } - n \right]

Gradiente Decrescente:
FV = p \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1}{ i } \right] - \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1}{ i } - n \right]

Concordo. Aliás todos nós sabemos (veja aqui https://pir2.forumeiros.com/t143871-formulario#506050 ). Só que você está afirmando isto (troca de sinal) sem comprovação. O que eu fiz foi justamente demonstrar isto. Afinal, é este o objetivo da questão proposta. Esqueceu deste detalhe?

Sds.

Como sem comprovação, Luiz? Você não tinha acabado de deduzir a fórmula para P.A. crescente? O que é a P.A. decrescente senão uma progressão com a razão negativa? Smile
E outra, a P.A. em Gradiente Crescente é a soma de uma série constante com outra série em Gradiente, que começa um período após o início da série constante, concorda?
Imaginando o primeiro termo igual a 'p', conforme supôs, se 'retirarmos' G de cada termo subsequente ficaremos com uma P.A. decrescente, não ficaremos?
Então, simplesmente subtraindo de uma série constante uma série em gradiente obteremos o que deduziu. Exatamente. Sem mais, nem menos! Smile

Sds.
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Re: Fator de Acumulação de Capital - VARIÁVEL

Mensagem por Luiz 2017 em Seg Fev 05 2018, 21:22

Baltuilhe, você diz:

"...poderíamos ter resolvido a progressão decrescente simplesmente trocando-se o sinal do gradiente na progressão crescente, concorda?"

O que eu quis dizer é que esta é a conclusão, após a dedução; e não a premissa.

Se estou deduzindo a fórmula da PA decrescente, não posso deduzir apenas a fórmula da PA crescente, e em seguida simplesmente dizer: "para a fórmula da PA decrescente basta trocar o sinal do gradiente". Você viu os itens 5 e 6. Quase duas páginas de texto!

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Re: Fator de Acumulação de Capital - VARIÁVEL

Mensagem por Luiz 2017 em Seg Fev 05 2018, 22:06

@baltuilhe escreveu:
Obs.: Já vou montar outro post com a solução 'financeira' para o problema! Smile

Sds.


Manda bala. Ou, flecha.

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Re: Fator de Acumulação de Capital - VARIÁVEL

Mensagem por baltuilhe em Seg Fev 05 2018, 22:56

@Luiz 2017 escreveu:Baltuilhe, você diz:

"...poderíamos ter resolvido a progressão decrescente simplesmente trocando-se o sinal do gradiente na progressão crescente, concorda?"

O que eu quis dizer é que esta é a conclusão, após a dedução; e não a premissa.

Se estou deduzindo a fórmula da PA decrescente, não posso deduzir apenas a fórmula da PA crescente, e em seguida simplesmente dizer: "para a fórmula da PA decrescente basta trocar o sinal do gradiente". Você viu os itens 5 e 6. Quase duas páginas de texto!
Meu caro amigo Luiz!

Concordo que sua dedução está correta, que chegou no resultado, mas sempre podemos fazer analogias e simplificar nossas vidas!

Compare os dois desenhos e me responda se o raciocínio está errado Smile


No primeiro temos um fluxo de caixa com o primeiro termo igual a 'p' e 'subtraímos' 9 (n-1) termos em Gradiente para obtermos o valor atual
Este gradiente tem o mesmo valor (a menos do sinal) que o gradiente obtido por 9 (n-1) termos em Gradiente do desenho abaixo.
Não estou dizendo que os dois fluxos de caixa irão chegar no mesmo valor da data zero, mas os valores SOMENTE dos gradientes, sim.

Por isso pode subtrair, Luiz, o valor de G conforme disse.

Espero ter deixado mais claro!

Sds.
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Re: Fator de Acumulação de Capital - VARIÁVEL

Mensagem por baltuilhe em Ter Fev 06 2018, 16:17

@baltuilhe escreveu:Encontre a expressão que capitaliza para a data 'final' uma anuidade (série de depósitos) variável, com depósitos seguintes em progressão aritmética de razão igual ao primeiro depósito, periódica (intervalo entre um depósito e outro constante) e finita (quantidade 'n'), com o primeiro depósito ao término do primeiro período (renda postecipada). Usar taxa fixa 'i'.
Bom dia!

Aqui deixarei a sugestão do raciocínio financeiro para obter a fórmula que nos entrega o montante de uma série em gradiente crescente, com a razão desta progressão igual ao primeiro termo.

Ideia (sem perda de generalidade irei utilizar valores unitários):
Uma série de 'n' depósitos unitários e ANTECIPADOS (iniciando na data zero até a data n-1) é equivalente, financeiramente, a retirarmos a cada período os juros gerados pelo período anterior, ou seja, i no primeiro período, 2i no segundo e assim sucessivamente mais uma parcela igual a 'n' no último período. Portanto:
Ao fluxo de caixa de valor unitário, constante, antecipado, chamarei:
\\\overline{ s }_{ \overline{ n } | i } = ( 1 + i )^{ n } + ( 1 + i )^{ n - 1 } + \ldots + ( 1 + i )^{ 2 } + ( 1 + i )^{ 1 }\\\\\boxed{\overline{ s }_{ \overline{ n } | i } = \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i } \cdot \left( 1 + i \right)}

Agora:
\\\overline{ s }_{ \overline{ n } | i } = i \cdot ( 1 + i )^{ n - 1 } + 2i \cdot ( 1 + i )^{ n - 2 } + \ldots + ( n - 1 ) i \cdot ( 1 + i )^{ 1 } + ni + n\\\\\overline{ s }_{ \overline{ n } | i } = i \cdot \underbrace{ \left[ ( 1 + i )^{ n - 1 } + 2 ( 1 + i )^{ n - 2} + \ldots + ( n - 1 )( 1 + i )^{ 1 } + n \right] }_{ (Is)_{ \overline{ n } | i } } + n \\\\\boxed{ (Is)_{ \overline{ n } | i } = \dfrac{ \overline{s}_{ \overline{ n } | i } - n }{ i } }

Veja que a fórmula (Is)_{\overline{n}|i} nos entrega o fator que multiplicado pela razão da progressão (esta igual ao primeiro termo) nos dá o valor acumulado após 'n' meses.
Então:
\displaystyle{ \boxed{ FV = G \cdot (Is)_{ \overline{ n } | i } } }

Agora, iremos calcular o seguinte: uma progressão em gradiente crescente, com o primeiro termo igual a 'p' e os outros termos em uma P.A. crescente de razão igual a 'G', ou seja, p+G, p+2G... até p+(n-1)G, o último termo no período 'n'.
Isso é a 'soma' de uma série constante de termos iguais a 'p' com uma de gradiente G e 'n-1' termos, certo?
Portanto:
\displaystyle{ FV = p \cdot \underbrace{ \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }{ i } \right] } _ { s_{ \overline{ n } | i } } + G \cdot (Is)_{ \overline{ n - 1 } | i } }

Iremos desenvolver a equação anterior para chegarmos na equação desejada:
\\\displaystyle{ FV = p \cdot s_{ \overline{ n } | i } + G \cdot \underbrace{ \left[ \dfrac{ s_{ \overline{ n - 1 } | i } - ( n - 1 ) }{ i } \right ] } _ { (Is)_{ \overline{ n - 1 } | i } } }\\\\\\\displaystyle{ FV = p \cdot s_{ \overline{ n } | i } + \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n - 1 } - 1 }{ i } \cdot \left( 1 + i \right ) - ( n - 1 ) \right ] }\\\\\\\displaystyle{ FV = p \cdot s_{ \overline{ n } | i } + \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - \left( 1 + i \right ) }{ i } - ( n - 1 ) \right ] }\\\\\\\displaystyle{ FV = p \cdot s_{ \overline{ n } | i } + \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }{ i } - 1 - ( n - 1 ) \right ] }\\\\\\\displaystyle{ FV = p \cdot s_{ \overline{ n } | i } + \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }{ i } - n \right ] }

Finalmente:
\displaystyle{ \boxed{ FV = p \cdot s_{ \overline{ n } | i } + \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ s_{ \overline{ n } | i } - n \right ] } }

Para uma progressão aritmética com termos em P.A. decrescente iremos calcular a fórmula para uma P.A. decrescente cuja razão G é igual ao último termo.
Para tal, imaginemos o seguinte fluxo de caixa: um depósito no valor 'n' na data zero e 'n' retiradas unitárias do período 1 ao período n. Este fluxo é equivalente a, no período 1 retirar os juros (ni), no período 2 retirar os novos juros (como estamos subtraindo um fluxo unitário, teremos (n-1)i de juros agora)... e assim sucessivamente, até ter somente i de juros no último período.
Assim:
\\n \cdot \left( 1 + i \right) ^ { n } - s_{ \overline{ n } | i } = ni \cdot \left( 1 + i \right) ^ { n - 1 } + (n-1)i \cdot \left( 1 + i \right) ^ { n - 2 } + \ldots + 2i \cdot \left( 1 + i \right) ^ { 1 } + i\\\\n \cdot \left( 1 + i \right) ^ { n } - s_{ \overline{ n } | i } = i \cdot \underbrace{ \left[ n \cdot \left( 1 + i \right) ^ { n - 1 } + (n-1) \cdot \left( 1 + i \right) ^ { n - 2 } + \ldots + 2 \cdot \left( 1 + i \right) ^ { 1 } + 1 \right] } _ {(Ds)_{\overline{n}|i}}\\\\\boxed{(Ds)_{\overline{n}|i} = \dfrac{ n \cdot \left( 1 + i \right) ^ { n } - s_{ \overline{ n } | i }}{ i } }

Agora podemos calcular um fluxo com o último termo igual a 'p' e subtraírmos um fluxo igual a 'G' (pois este será o valor do último termo, mesma razão da P.A.)
Daí:
\\\displaystyle{ FV = (p - G) \cdot s_{ \overline{ n } | i } + G \cdot (Ds)_{ \overline{ n } | i } }\\\\\displaystyle{ FV = (p - G) \cdot s_{ \overline{ n } | i } + G \cdot \left[ \dfrac{ n \cdot \left( 1 + i \right) ^ { n } - s_{ \overline{ n } | i } }{ i } \right ] }\\\\\displaystyle{ FV = p \cdot s_{ \overline{ n } | i } + G \cdot \left[ \dfrac{ n \cdot \left( 1 + i \right) ^ { n } - s_{ \overline{ n } | i } }{ i } \right ] - G \cdot s_{ \overline{ n } | i } }\\\\\displaystyle{ FV = p \cdot s_{ \overline{ n } | i } + G \cdot \left[ \dfrac{ n \cdot \left( 1 + i \right) ^ { n } - s_{ \overline{ n } | i } }{ i } -  s_{ \overline{ n } | i } \right] }\\\\\displaystyle{ FV = p \cdot s_{ \overline{ n } | i } + G \cdot \left[ \dfrac{ n \cdot \left( 1 + i \right) ^ { n } - s_{ \overline{ n } | i } \cdot \left( 1 + i \right) }{ i } \right] }

Finalmente:
\displaystyle{ \boxed{ FV = p \cdot s_{ \overline{ n } | i } + \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ n \cdot \left( 1 + i \right) ^ { n } - \overline{s}_{ \overline{ n } | i } \right] } }

Espero ter deixado minha parcela de contribuição! Smile

c.b.d.
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