Divisores primos

por Cristina Lins Ter 16 Jan 2018, 11:07

Mostre que entre nove números que não possuem divisores primos maiores que 5, existem dois cujo produto é um quadrado perfeito.

por superaks Ter 16 Jan 2018, 16:33

De todos os números que podemos formar, temos:

i = ímpar e. i' = ímpar (não necessariamente igual a i)
p = par. é. p' = par. (não necessariamente igual a p)

{1, 2^i, 2^p, 3^i, 3^p, 3^i . 2^(i'), 3^p . 2^(p'), 3^i . 2^p, 3^p . 2^i}

Números inteiros que não tenham fatores primos maiores que 5, tem que estar no conjunto acima para algum i, i', p ou p'.

Com eles podemos construir alguns quadrados perfeitos. Pegue por exemplo 3^p e 2^p. O produto entre eles é um quadrado perfeito, logo, existem dois números nesse conjunto que é um quadrado perfeito. Concluindo o que queríamos provar.

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