Sistemas Lineares

Discutir, segundo os valores de a o seguinte sistema:


x + a(y + z) = 1
y + a(x + z) = a
z + a(x + y) = a²

Boa noite.
Não tenho como afirmar com certeza absoluta já que você não passou o gabarito, mas acho que consegui resolver. Organizando esse sistema temos:

 x + ay + az = 1
ax + y  + az = a
ax + ay +  z = a²

Escalonando:

 x + ay + az = 1
(a - 1)x + (1 - a)y + 0 = a - 1
0 + (a - 1)y + (1 - a)z = a² - a

Utilizando o teorema de Rouché-Capelli pode-se montar a matriz

|  1      a     a   |    1   |
|a-1   1-a    0   |  a-1  |
|  0    a-1   1-a | a²-a |

Se a característica de matriz incompleta for igual a da completa porém menor que o número de incógnitas, o sistema é SPI.
Veja que se a=1 o sistema é SPI.
Se for a diferente de 1 o sistema é SPD, pois para ele ser inconsistente, é necessário que a característica de matriz incompleta seja diferente da completa.
Ou seja, ou ela é SPD(a=/=1) ou SPI(a=1).
Espero ter ajudado.