Determinar o montante da operação
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Determinar o montante da operação
Cinco depósitos mensais antecipados de $ 2.000,00, com acréscimos de $ 1.000,00, a partir do segundo, formam uma progressão aritmética crescente. Se a taxa de juros que remunera a operação é de 10% ao mês, determine o montante final da operação.
R: 25.587,32
R: 25.587,32
Luiz 2017- Mestre Jedi
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Re: Determinar o montante da operação
Pela tabela abaixo fica melhor o entendimento da resolução.
\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline M\hat{e}s & Valor \ Inicial & Dep\acute{o}sito & Valor \ de \ C\acute{a}lculo & Juros(10\%) & Saldo\\ \hline 1 & 0 & 2000 & 2000 & 200 & R\$ \ 2.200,00 \\ \hline 2 & 2200 & 3000 & 5200 & 520 & R\$ \ 5.720,00\\ \hline 3 & 5720 & 4000 & 9720 & 972 & R\$ \ 10.692,00\\ \hline 4 & 10692 & 5000 & 15692 & 1569,20 & R\$ \ 17.261,20\\ \hline 5 & 17261,20 & 6000 & 23261,20 & 2326,12 & {\color{Blue} \mathbf{R\$ \ 25.587,32}}\\ \hline \end{array}
evandronunes- Jedi
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Re: Determinar o montante da operação
evandronunes escreveu:Pela tabela abaixo fica melhor o entendimento da resolução.\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline M\hat{e}s & Valor \ Inicial & Dep\acute{o}sito & Valor \ de \ C\acute{a}lculo & Juros(10\%) & Saldo\\ \hline 1 & 0 & 2000 & 2000 & 200 & R\$ \ 2.200,00 \\ \hline 2 & 2200 & 3000 & 5200 & 520 & R\$ \ 5.720,00\\ \hline 3 & 5720 & 4000 & 9720 & 972 & R\$ \ 10.692,00\\ \hline 4 & 10692 & 5000 & 15692 & 1569,20 & R\$ \ 17.261,20\\ \hline 5 & 17261,20 & 6000 & 23261,20 & 2326,12 & {\color{Blue} \mathbf{R\$ \ 25.587,32}}\\ \hline \end{array}
Olá evandronunes
Sua solução está correta, mas sempre que vejo este método de solução "manual" penso em como aplicá-lo num problema maior. Por exemplo, como você resolveria este mesmo problema se ao invés de 5 fossem 200 depósitos?
Sds.
Luiz 2017- Mestre Jedi
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Re: Determinar o montante da operação
Vasculhando na internet, vi que existe um método para estes tipos de problemas.
Para encontrarmos o valor total (VT) na data "n" de uma série de n depósitos em progressão aritmética, à uma taxa i, como no esquema acima, utiliza-se a fórmula:
VT = a_1 \cdot \left [ \frac{(1+i)^n -1}{i} \right ] + \frac{r}{i} \cdot \left [ \frac{(1+i)^n -1}{i} -n \right ]
Como nesse problema, queremos o valor total de um período de tempo após n, basta multiplicar a fórmula acima por (1+i) .
Portanto,
VT = a_1 \cdot \left [ \frac{(1+i)^n -1}{i} \right ] \cdot (1+i) + \frac{r}{i} \cdot \left [ \frac{(1+i)^n -1}{i} -n \right ] \cdot (1+i)
Nessa questão temos quea_1=2000 , r=1000 , i=0,1 e n=5 , logo:
VT = 2000 \cdot \left [ \frac{(1,1)^5 -1}{0,1} \right ] \cdot (1,1) + \frac{1000}{0,1} \cdot \left [ \frac{(1,1)^5 -1}{0,1} -5 \right ] \cdot (1,1)
VT = 2000 \cdot 6,1051 \cdot 1,1 + 10000 \cdot 1,1051 \cdot 1,1
VT = 13431,22 + 12156,1
VT = R \$ \ 25.587,32
Para encontrarmos o valor total (VT) na data "n" de uma série de n depósitos em progressão aritmética, à uma taxa i, como no esquema acima, utiliza-se a fórmula:
Como nesse problema, queremos o valor total de um período de tempo após n, basta multiplicar a fórmula acima por
Portanto,
Nessa questão temos que
evandronunes- Jedi
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Re: Determinar o montante da operação
evandronunes escreveu:
Para encontrarmos o valor total (VT) na data "n" de uma série de n depósitos em progressão aritmética, à uma taxa i, como no esquema acima, utiliza-se a fórmula:VT = a_1 \cdot \left [ \frac{(1+i)^n -1}{i} \right ] + \frac{r}{i} \cdot \left [ \frac{(1+i)^n -1}{i} -n \right ]
Referia-me à sua primeira solução, com o método numérico. É uma antiga preocupação que tenho quando vejo soluções com este tipo de método. Como resolveria este mesmo problema, com este mesmo método, se ao invés de 5 fossem 200 depósitos? Penso ser algo cruel, enfadonho, não?
Última edição por Luiz 2017 em Ter 26 Dez - 13:45, editado 1 vez(es)
Luiz 2017- Mestre Jedi
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Re: Determinar o montante da operação
Realmente deve ser muito cansativo.... Acho que por isso que os autores criam essas questões com uma quantidade menor de valores.
Para valores altos de n, só utilizando calculadoras ou programas como o Excel.
Para valores altos de n, só utilizando calculadoras ou programas como o Excel.
evandronunes- Jedi
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Re: Determinar o montante da operação
evandronunes escreveu:
Para valores altos de n, só utilizando calculadoras ou programas como o Excel.
Ou usar as fórmulas que você usou na segunda solução, que se aplicam a qualquer valor de "n" seja pequeno ou grande o trabalho é o mesmo.
Luiz 2017- Mestre Jedi
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Re: Determinar o montante da operação
Olá.Luiz 2017 escreveu:evandronunes escreveu:
Para valores altos de n, só utilizando calculadoras ou programas como o Excel.
Ou usar as fórmulas que você usou na segunda solução, que se aplicam a qualquer valor de "n" seja pequeno ou grande o trabalho é o mesmo.
Assim também dá:
C = 3000
r = 1000
i = 0,05
F = ?
F = [(C + r/i)*[FAC (i,n)] - nr/i]---->Fórmula
---->
F = [3000 + 1000/0,05]*[(1,05^5-1)/0,05] - 5*1000/0,05]
---->
F = 23000*[0,27628156/0,05] - 100000
---->
F = 23000*5,52563120 - 100000
---->
F = 27.089,52
Obs.: FAC = fator de atualização de capital; FAC (i,n) = FAC (5%, 5) = (1,05^5-1)/0,05 = 5,52563125
Um abraço.
jota-r- Grupo
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Re: Determinar o montante da operação
jota-r escreveu:Olá.Luiz 2017 escreveu:evandronunes escreveu:
Para valores altos de n, só utilizando calculadoras ou programas como o Excel.
Ou usar as fórmulas que você usou na segunda solução, que se aplicam a qualquer valor de "n" seja pequeno ou grande o trabalho é o mesmo.
Assim também dá:
C = 3000
r = 1000
i = 0,05
F = ?
F = [(C + r/i)*[FAC (i,n)] - nr/i]---->Fórmula
---->
F = [3000 + 1000/0,05]*[(1,05^5-1)/0,05] - 5*1000/0,05]
---->
F = 23000*[0,27628156/0,05] - 100000
---->
F = 23000*5,52563120 - 100000
---->
F = 27.089,52
Obs.: FAC = fator de atualização de capital; FAC (i,n) = FAC (5%, 5) = (1,05^5-1)/0,05 = 5,52563120
Um abraço.
jota-r- Grupo
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