arcos trigonométricos

por GreenArrow 5/7/2017, 2:56 pm

sejam os conjuntos:

A={y∈R/y=sen (k∏/3), k∈Z)

B={y∈R/y=cos(k∏/6), k∈Z)

Então, o número de elementos de A∩B é:

Gabarito: 3

por **Elcioschin** 5/7/2017, 6:42 pm

Na 1ª volta para sen(k.pi/3)

Para k = 0 ---> y = sen0 ---> y = 0
Para k = 1 ---> y = sen(pi/3) ---> y = √3/2
Para k = 2 ---> y = sen(2.pi/3) ---> y = √3/2
Para k = 3 ---> y = sen(pi) ---> y = 0
Para k = 4 ---> y = sen(4.pi/3) ---> y = -√3/2
Para k = 5 ---> y = sen(5pi/3) ---> y = -√3/2

Idem para cos(k.pi/6):

Para k = 0 ---> y = cos0 ---> y = 1
Para k = 1 ---> y = cos(pi/6) ---> y = √3/2
Para k = 2 ---> y = cos(pi/3) ---> y = 1/2
Para k = 3 ---> y = cos(pi/2) ---> y = 0
Para k = 4 ---> y = cos(2.pi/3) ---> y = -1/2
Para k = 5 ---> y = cos(5pi/6) ---> y = -√3/2
Para k = 6 ---> y = cos(pi) ---> y = -1

Prossiga até 11.pi/6

Depois determine a interseção.

por Mathematicien 5/7/2017, 11:07 pm

Não é possível resolver esta questão de maneira algébrica, Elcio? Pensei em fazer sen(k.pi/3) = cos(k.pi/6).

Usando esses sites de resolver equações, chegamos a três soluções distintas:

k = 6n - 3
k = 12n + 1
k = 12n + 5

Estaria certo assim?

por **Elcioschin** 5/7/2017, 11:49 pm

Não conheço a técnica mostrada.
Tente usá-la e veja se consegue chegar no gabarito.

por GreenArrow 6/7/2017, 7:30 am

Elcioschin escreveu:Na 1ª volta para sen(k.pi/3)

Para k = 0 ---> y = sen0 ---> y = 0
Para k = 1 ---> y = sen(pi/3) ---> y = √3/2
Para k = 2 ---> y = sen(2.pi/3) ---> y = √3/2
Para k = 3 ---> y = sen(pi) ---> y = 0
Para k = 4 ---> y = sen(4.pi/3) ---> y = -√3/2
Para k = 5 ---> y = sen(5pi/3) ---> y = -√3/2

Idem para cos(k.pi/6):

Para k = 0 ---> y = cos0 ---> y = 1
Para k = 1 ---> y = cos(pi/6) ---> y = √3/2
Para k = 2 ---> y = cos(pi/3) ---> y = 1/2
Para k = 3 ---> y = cos(pi/2) ---> y = 0
Para k = 4 ---> y = cos(2.pi/3) ---> y = -1/2
Para k = 5 ---> y = cos(5pi/6) ---> y = -√3/2
Para k = 6 ---> y = cos(pi) ---> y = -1

Prossiga até 11.pi/6

Depois determine a interseção.

entendi!! muito obrigado!!

por Mathematicien 6/7/2017, 11:00 am

Elcioschin escreveu:Não conheço a técnica mostrada.
Tente usá-la e veja se consegue chegar no gabarito.

A questão pede a intersecção entre os dois conjuntos, que são definidos por funções. Se fizermos a intersecção das funções (igualá-las), podemos chegar a quando y₁ = y₂. Essas funções têm infinitas intersecções num plano cartesiano comum, mas, num círculo trigonométrico, têm finitos pontos distintos.

Podemos fazer sen(k.pi/3) = cos(k.pi/6).

Resolvendo essa equação, chegamos a

k = 6n - 3
k = 12n + 1
k = 12n + 5

(com n pertencendo aos inteiros)

Ou seja, y₁ e y₂ são iguais quando k vale qualquer um desses valores. Temos três equações que representam pontos distintos no círculo trigonométrico, o que bate com o gabarito. Os diferentes valores de n são para representar os infinitos arcos congruentes que também tornam a equação verdadeira.