Limite VIII

por Renan Novaes Sex 14 Abr 2017, 00:34

Seja ƒ: ℝ → ℝ tal que 1+x^2+(x^5)/5 ≤ ƒ(x)+1 ≤ sec(x^2)+(x^5)/5, calcule

e

Gabarito: lim x→0 f(x) = 0 e lim x→0 (f(x) cos( 1 x+x2 )) = 0

Muito obrigado.

por **mauk03** Sáb 15 Abr 2017, 22:26

$1+x^2+\frac{x^5}{5}\leq f(x)+1\leq \sec^2 x+\frac{x^5}{5}\Rightarrow x^2+\frac{x^5}{5}\leq f(x)\leq \sec^2 x+\frac{x^5}{5}-1$

Como $\lim_{x\rightarrow 0}\left (x^2+\frac{x^5}{5} \right )=0$ e $\lim_{x\rightarrow 0}\left (\sec^2 x+\frac{x^5}{5}-1 \right )=0$ , pelo teorema do confronto:
$\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$

Se $x^2+\frac{x^5}{5}\leq f(x)\leq \sec^2 x+\frac{x^5}{5}-1$ , então para $x\rightarrow 0$ :
$\left (x^2+\frac{x^5}{5} \right )\cos \left ( \frac{1}{x+x^2} \right )\leq f(x)\cos \left ( \frac{1}{x+x^2} \right )\leq \left (\sec^2 x+\frac{x^5}{5}-1 \right )\cos \left ( \frac{1}{x+x^2} \right )$

Como $\lim_{x\rightarrow 0}\left (x^2+\frac{x^5}{5} \right )\cos \left ( \frac{1}{x+x^2} \right )=0$ e $\lim_{x\rightarrow 0} \left (\sec^2 x+\frac{x^5}{5}-1 \right )\cos \left ( \frac{1}{x+x^2} \right )=0$ (já que cos(1/(x+x²)) é limitada), pelo teorema do confronto:
$\lim_{x\rightarrow 0} f(x)\cos \left ( \frac{1}{x+x^2} \right )=0$

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