Dízima

Considere um número racional m/n, onde m e n são primos relativos entre si. Sob que condições este número admite uma representação decimal finita? Quando a representação é uma dízima periódica?

Cristina Lins escreveu:Considere um número racional m/n, onde m e n são primos relativos entre si. Sob que condições este número admite uma representação decimal finita? Quando a representação é uma dízima periódica?

Bom dia, Cristina.

Nosso sistema de numeração é decimal.
Como 10 é formado por 2 x 5, conseguimos obter uma decimal finita quando o denominador for formado apenas dos fatores primos 2 e/ou 5. Antes, porém, m/n terá que ser simplificada, tornando-se irredutível.
Quando, porém, o denominador for formado por fatores primos diferentes de 2 e/ou 5, obteremos, na divisão de m por n, uma dízima periódica simples.
E quando o denominador for formado por fatores primos 2 e/ou 5 juntamente com fatores diferentes desses, a fração m/n irá gerar uma dízima periódica composta.

Decimais finitas:
3/32 — 32 = 2^5 — 3/32 irá gerar decimal finita = 0,09375.
7/25 — 25 = 5^2 — 7/25 irá gerar decimal finita também = 0,28.
9/40 — 40 = 2².5 — 9/40 irá, igualmente, gerar decimal finita = 0,225.

Dízimas periódicas simples:
2/9 — 9 = 3^2 — 2/9 irá gerar dízima periódica simples (3 ≠ 2 e/ou 5) = 0,222...
4/21 — 21 = 3*7 — 4/21 irá gerar dízima periódica simples (3 e7 ≠ 2 e/ou5) = 0,190476 190476 ...

Dízimas periódicas compostas:
5/6 — 6 = 2*3 — 5/6 irá gerar dízima periódica composta (2 e 3 contém fator 2) = 0,8333...
3/70 — 70 = 2*5*7 — 3/70 irá gerar dízima periódica composta (2,5,7 contem fatores 2 e 5 = 0,0428571 428571
1/24 — 24 = 2³ * 3 — 1/24 irá gerar dízima periódica composta (2³,3 contém fator 2) = 0,0416666...

Em destaque as partes não-periódicas, geradas pelos fatores 2 e/ou 5).


Um abraço.

Boa tarde sr. Ivomilton
Obrigada pela ajuda. Valeu mesmooooo!!!!