Algebra

por EstudanteCiencias Seg 13 Mar 2017, 20:26

Encontre o valor maximo da função definida pela lei f(x,y)=[12(xy-4x-3y]/[x²y³] onde x,y sao reais positivos.

resposta fmax=f(12,8)=1/256

por **fantecele** Qua 19 Dez 2018, 00:33

"Se a soma de n números for constante, o produto será máximo quando todos forem iguais."

Reescrevendo a expressão:

\\f(x,y)=\frac{12(xy-4x-3y)}{x^2y^3}\\...\\f(x,y)=\left ( \frac{2}{y} \right ).\left ( \frac{2}{y} \right ).\left ( \frac{3}{x} \right ).\left ( 1-\frac{2}{y}-\frac{2}{y}-\frac{3}{x} \right )

Perceba que a soma das parcelas é constante e igual a 1, ou seja, 2/y + 2/y + 3/x + 1 - 2/y - 2/y - 3/x = 1 (I), portanto o produto deles será máximo quando todos eles forem iguais, dessa forma:

2/y = 2/y = 3/x = (1 - 2/y - 2/y - 3/x) = k (II)

De (I) e (II) tiramos que k = 1/4, portanto y = 8 e x = 12, dessa forma, o máximo da função se dá para quando x = 12 e y = 8 e, portanto, será igual a:

$\\f(12,8.)=\frac{12(12.8-4.12-3.8.)}{(12)^2.(8.)^3}=\frac{1}{256}$

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