(uefs) Polinômios

por caiomslk Ter 07 Mar 2017, 09:56

Um polinômio P, de grau n, tem o coeficiente do termo de maior grau igual é a 1 e suas
raízes formam uma progressão geométrica de razão 3 cujo primeiro termo r1 = 3.
Sabendo-se que o termo independente de P igual a 315, pode-se concluir que o grau de
P é igual a
A) 3
B) 5
C) 7
D) 8
E) 10

gabarito:

por **Elcioschin** Ter 07 Mar 2017, 10:46

Polinômio fatorado:

P(x) = 1.(x - r1).(x - r2).(x - r3). .......... .(x - r_n)

Raízes ---> 3, 9, 27, ........... r_n

P(x) = (x - 3).(x - 9).(x - 27). .............. .(x - r_n)

Termo independente = 3.9.27. .... .r_n = 315

Acho existe algum dado errado no enunciado: 3.9 = 27 ---> 3.9.27 = 729

É impossível atingir o valor 315

por **petras** Ter 07 Mar 2017, 13:41

O correto é o termo independente de P igual a 3^{15}

por **Elcioschin** Ter 07 Mar 2017, 17:52

Vejamos então:

3.9.27.81. .......

3.3².3³.3⁴. ....... 3ⁿ = 3¹⁵

3^{(1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)} = 3¹⁵

No expoente temos a soma S dos termos de uma PA, com a1 = r = 1

a_n = 1 + (n - 1).n ---> a_n = n

S= (1 + n).n/2 = 15 --> n² + n - 30 = 0 ---> n = 5

por caiomslk Qua 08 Mar 2017, 21:58

Perdão,mestre.Equivoquei-me ao digitar a questão,no entanto,o senhor realizou a questão com a correção do colega.
Uma pergunta:a multiplicação das raízes do polinômio sempre equivalerá ao termo independente ?

por **Elcioschin** Qua 08 Mar 2017, 22:39

Isto vem da das Relações de Girard

x1.x2.x3. .... .xn = termo independente/coeficiente do termo de maior grau

Pelo enunciado "coeficiente do termo de maior grau igual é a 1"

x1.x2.x3. .... .xn = termo independente