(Analise Combinatoria) Retas Paralelas

São dadas 2 retas paralelas, r e s. Tomam-se alguns pontos sobre r e outros pontos sobre s, num total de 13 pontos. Constrói-se a partir destes pontos quadriláteros convexos e triângulos. Sabendo-se que a razão entre o número de quadriláteros convexos e o de triângulos construídos com vértices sobre esses pontos é de 14/11, determine a quantidade de pontos sobre r e s.

Resposta : 8 e 5 ( ou 5 e 8 )

Sejam n pontos sobre a reta r e (13 - n) pontos sobre a reta s

1) Quantidade de quadriláteros ---> 2 pontos de r e 2 pontos de s

Q = C(n, 2)*C(13-n, 2) ----> Q = [n!/2(*n - 2)!]*[(13 - n)!/2*(11 - n)!] ---->

Q = [n*(n - 1)/2]*[(13 - n)(12 - n)/2] ----> Q = n*(n - 1)*(13 - n)*(12 - n)/4

2) Quantidade der triângulos ---> 1 pontos de r e 2 de s + 1 pontos de s e 2 de r

T = n*C(13-n, 2) + (13 - n)*(Cn, 2) ----> T = n*(13 - n)*(12 - n)/2 + (13 - n)*n*(n - 1)/2 ---->

T = n*(n - 13)*[(12 - n) - (n -1)]/2 ----> T = n*(13 - n)*(13 - 2n)/2

Q/T = 14/11

Confira as contas e conclua, por favor