Inequação Modular

por José Valmir Santos Seg 26 Dez 2016, 20:13

Estava tentando resolver esse problema, porém a minha resposta não coincidiu com o gabarito, tentei rever e refazer, mas a resposta sempre dava a mesma.

Resolver em \mathbb{R} a inequação:

\mid x^2-4x \mid -3x+6 \le 0

por **xSoloDrop** Seg 26 Dez 2016, 20:25

|x²-4x|-3x+6 ≤ 0

|x²-4x| ≤ 3x-6

Caso 1:

x²-4x ≤ 3x-6

x²-7x+6 ≤ 0

Perceba que nós temos uma parábola de concavidade para cima, de raízes 1 e 6, portanto:

++++ ---------- ++++

______ 1 ________ 6 _______

Nesse caso, [1,6].

Caso 2:

x²-4x ≥ -3x+6

x²-x-6 ≥ 0

Agora nós temos uma parábola de concavidade para cima e de raízes -2 e 3.

++++++ --------- +++++

________ -2 _______ 3 _______

Nesse caso, (-∞,-2] ou [3,+∞).

Pela intersecção dos domínios, a função será menor ou igual a zero se [3,6], ou 3 ≤ x ≤ 6.

por **Euclides** Seg 26 Dez 2016, 21:48

$\\x^2-4x\leq0\to\;-x^2+4x-3x+6\leq0\\-x^2+x+6\leq0\;\;\Rightarrow \;\;x\leq-2,\;\;\;\mathbf{x\geq 3}\;\;\;(A)$

$\\x^2-4>0\;\to\;x^2-4x-3x+6\leq0\\x^2-7x+6\leq0\;\;\Rightarrow \;\;\mathbf{1<x<6}\;\;\;(B)$

$\\A\cap B\;\to\;\;3\leq x\leq 6$

___________________________

Inequação Modular Fig698b6

por José Valmir Santos Ter 27 Dez 2016, 00:31

Obrigado. Entendi como resolver o problema, porém não estou entendendo o porque da minha resolução está incorreta.
Eu estava tentando resolver o problema me baseando em um problema resolvido. E obtive o seguinte:

De x^2-4x , temos que:

x^2-4x \geq 0 \Leftrightarrow x\leq 0 \cup x\geq 4

x^2-4x \leq 0 \Leftrightarrow 0 < x < 4 .

Logo vamos considerar dois casos:

1º) Se x\leq 0 \cup x\geq 4 então:

\left |x^2-4x \right | -3x+6 \geq 0 \Rightarrow

x^2-4x -3x+6 \geq 0 \Rightarrow

x^2-7x+6 \geq 0 \Leftrightarrow 1\leq x\leq 6 .

Logo {S}'= (x\leq 0 \cup x\geq 4)\cap (1\leq x\leq 6 )= (4\leq x\leq 6 )

2º) Se 0 < x < 4 então:

\left |x^2-4x \right | -3x+6 \geq 0 \Rightarrow

-x^2+4x -3x+6 \geq 0 \Rightarrow

-x^2+x+6 \geq 0 \Leftrightarrow -2\leq x\leq 3 .

Logo {S}''= (0 < x< 4)\cap (-2\leq x\leq 3) = (0< x\leq 3 ) .

Assim obtemos que:
{S}'\cup {S}''= (4\leq x\leq 6)\cup (0< x\leq 3 ) = {x\subset \mathbb{R} /0< x\leq 3 ou 4\leq x\leq 6} .

Onde está o erro ?