Inequação modular

Como resolver este tipo de inequação que possui modulo dos dois lados?

| 2x + 6 | < | 4 - x |

Em inequações elevar ao ² só pode se ambos lados são positivos( como são módulos, pode!) 
Além disso, lembre-se que |x|²=x²
(| 2x + 6 |)² < (| 4 - x |)²=4x²+24x+36<16-8x+x²---> 3x²+32x+20<0 que tem raizes: -10 e -0,6

Portanto x está entre -10 e -0,6

obs: perdão pelo notação nada matemática na hora do conjunto solução, mas por algum motivo não consigo a escrever em termos matemáticos(erro no sistema)...

Também tenho esse problema, Havock. Experimente deixar um espaço antes e um depois dos símbolos de maior e menor; pra mim resolve.

Eu vou postar um jeito de resolver sem elevar ao quadrado, já que elevar ao quadrado em algumas situações pode ser bastante demorado.

| 2x + 6 | - | 4 - x | = 0

2x - 6 = 0 => x = 3
4 - x = 0 => x = 4

Agora você "esquece" o módulo, troca por um parênteses, e coloca um negativo ou um positivo multiplicando cada parênteses dependendo do valor de x.

Para x < 3:
+ ( 2x + 6 ) - ( + ( 4 - x ) ) = 0
2x + 6 - 4 + x = 0 => 3x + 2 = 0 => x = -2/3
É possível, porque:

Para x < 3, ( 2x + 6 ) sempre vai ser positivo. Então eu coloco + ( 2x + 6 ).
Para x < 3, o mesmo acontece para ( 4 - x ). Então eu coloco ( + ( 4 - x ) ).

Para x = 3:
12 - 1 = 11
É possível.

Para 3 < x < 4:
x = -10
É possível.

Para x = 4:
12 = 0
É um absurdo.

Para x > 4:
( 2x + 6 ) - ( - ( 4 - x ) ) = 0
2x + 6 + 4 - x = 0
x + 10 = 0
x = -10
É possível.

Logo a equação | 2x + 6 | - | 4 - x | = 0 tem as raízes x = -10 e x = -2/3.

Agora vamos olhar para a inequação.

| 2x + 6 | - | 4 - x | < 0

É só repetir o procedimento que nós já fizemos, só que trocando o sinal de igual ( = ) pelo sinal de menor que ( < ) nas equações onde você encontrou a raíz.

Você vai achar que x < -2/3 e x > -10.

Logo, -10 < x < -2/3.

ruanchaves93 escreveu:Para x < 3, ( 2x + 6 ) sempre vai ser positivo. Então eu coloco + ( 2x + 6 ).

O que você está fazendo aqui é a análise de sinal da função? Por que se ela zera em 3 e é crescente, então quer dizer que antes de 3 será negativa, sendo assim, não deveria ficar -(2x+6)?

Havock escreveu:Em inequações elevar ao ² só pode se ambos lados são positivos( como são módulos, pode!) 
Além disso, lembre-se que |x|²=x²
(| 2x + 6 |)² < (| 4 - x |)²=4x²+24x+36<16-8x+x²---> 3x²+32x+20<0 que tem raizes: -10 e -0,6

Portanto x está entre -10 e -0,6

obs: perdão pelo notação nada matemática na hora do conjunto solução, mas por algum motivo não consigo a escrever em termos matemáticos(erro no sistema)...

 Entendi o seu método Havock, muito obrigado.

Houve um erro de sinal na solução do Havock

2.x + 6 = 0 ---> x = - 3

Para x < - 3 ---> - (2.x + 6) < - (x - 4)

Para - 3 < x < 4 ---> + (2x + 6) < - (x - 4)

Para x > 4 ---> + (2x + 6) < + (x - 4)

Agora é só fazer as contas

Acho que é isso mesmo Elcioschin.
Neste tipo de problema eu posso usar aquela regra |a|=|b| e |a|= -|b|, ou só vale para equações isso?

O correto é ---> |a| = |b| ---> a = b ou a = - b

Por exemplo:

|5| = |5| ---> 5 = 5

|5| = |-5| ---> 5 = - (-5)

Ok, muito obrigado, pessoal.