Polinomio de coeficientes pares
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Polinomio de coeficientes pares
por dani1801 Sex 25 Nov 2016, 18:05
(Fuvest) Seja P(x)=x⁴ +bx³ +cx² +dx +e um polinomio com coeficientes inteiros. Sabe-se que as quatro raízes de P(x) sao inteiras e que tres delas sao pares e uma é ímpar. Quantos coeficientes pares tem o polinomio P(x)?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 0
e) 4
a) 1
b) 2
c) 3
d) 0
e) 4
dani1801- Estrela Dourada
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Re: Polinomio de coeficientes pares
por EsdrasCFOPM Sex 25 Nov 2016, 18:15
Relações de Girard
x1+x2+x3+x4=-b/a
x1.x2+x1.x3+x1.x4+x2.x3+x2.x4+x3.x4=c/a
x1.x2.x3+x1.x2.x4+x1.x3.x4+x2.x3.x4=-d/a
x1.x2.x3.x4=e/a
sendo x1 ímpar e os demais pares, temos que:
ímpar+par+par+par=-b
b=ímpar
ímpar.par+ímpar.par+ímpa.par+par.par+par.par+par.par=c
c=par
ímpar.par.par+ímpar.par.par+ímpar.par.par+par.par.par=-d
d=par
ímpar.par.par.par=e/a
e=par
x1+x2+x3+x4=-b/a
x1.x2+x1.x3+x1.x4+x2.x3+x2.x4+x3.x4=c/a
x1.x2.x3+x1.x2.x4+x1.x3.x4+x2.x3.x4=-d/a
x1.x2.x3.x4=e/a
sendo x1 ímpar e os demais pares, temos que:
ímpar+par+par+par=-b
b=ímpar
ímpar.par+ímpar.par+ímpa.par+par.par+par.par+par.par=c
c=par
ímpar.par.par+ímpar.par.par+ímpar.par.par+par.par.par=-d
d=par
ímpar.par.par.par=e/a
e=par
EsdrasCFOPM- Estrela Dourada
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Re: Polinomio de coeficientes pares
por Elcioschin Sex 25 Nov 2016, 18:16
P(x)=x⁴ + b.x³ + c.x² + d.x + e ---> raízes r, s, t (pares), u (ímpar)
Relações de Girard
r + s + t + u = - b ----> par + par + par + ímpar = - b ---> b é ímpar
r.s + r.t + r.u + s.t + s.u + t.u = c ---> par + par + par + par + par + par = c ---> é par
r.s.t + r.s.u + s.t.u = -d ---> par + par + par = -d ---> d é par
r.s.t.u = e ---> par = e ---> e é par
Relações de Girard
r + s + t + u = - b ----> par + par + par + ímpar = - b ---> b é ímpar
r.s + r.t + r.u + s.t + s.u + t.u = c ---> par + par + par + par + par + par = c ---> é par
r.s.t + r.s.u + s.t.u = -d ---> par + par + par = -d ---> d é par
r.s.t.u = e ---> par = e ---> e é par
Elcioschin- Grande Mestre
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