OBM 2015
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OBM 2015
por fwes. Dom 09 Out 2016, 20:49
Prove que existe um número que pode ser representado de pelo menos 2015 maneiras diferentes como soma de quadrados de números naturais não nulos, não necessariamente todos distintos. Considera-se que duas somas que alteram apenas a ordem das parcelas constituem uma mesma representação.
Por exemplo, 1^2 + 1^2 + 3^2 + 3^2 + 7^2 + 10^2 e 5^2 + 12^2 são duas maneiras distintas de escrevermos 169 como soma de quadrados.
(Essa questão caiu na terceira fase da OBM de 2015 do nível 2, e até hoje não consegui achar uma solução. Alguém dá uma mãozinha ai?)
Por exemplo, 1^2 + 1^2 + 3^2 + 3^2 + 7^2 + 10^2 e 5^2 + 12^2 são duas maneiras distintas de escrevermos 169 como soma de quadrados.
(Essa questão caiu na terceira fase da OBM de 2015 do nível 2, e até hoje não consegui achar uma solução. Alguém dá uma mãozinha ai?)
fwes.- Iniciante
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Re: OBM 2015
por Matheus Tsilva Ter 03 Jul 2018, 12:26
Olá ,
Imaginemos uma número que seja divisível por (1)^2.(2)^2.(3)^2.(4)^2....(2015)^2.
Repare que podemos representar tal número por qualquer um dos quadrados até (2015)^2 , por exemplo , caso queiramos representar um número pela soma de quadrados de um valor k, tal 1=
O numero
(1)^2.(2)^2.(3)^2.(4)^2....(2015)^2=(k)^2+(k)^2+....+(k)^2
O numero de vezes que será feito a soma de parcelas será tal um valor de (1)^2.(2)^2.(3)^2.(4)^2....(2015)^2/(k)^2, como temos a restrição do valor de k , e sendo o produto dos quadrados tendo todos os naturais de 1 ate 2015 , (k)^2 com certeza estará contido na multiplicação , portanto , a divisão do número por (k)^2 será um número natural , logo teremos como representar o número pela soma dos fatores (k)^2 n vezes , sendo n um número inteiro.
Imaginemos uma número que seja divisível por (1)^2.(2)^2.(3)^2.(4)^2....(2015)^2.
Repare que podemos representar tal número por qualquer um dos quadrados até (2015)^2 , por exemplo , caso queiramos representar um número pela soma de quadrados de um valor k, tal 1=
O numero
(1)^2.(2)^2.(3)^2.(4)^2....(2015)^2=(k)^2+(k)^2+....+(k)^2
O numero de vezes que será feito a soma de parcelas será tal um valor de (1)^2.(2)^2.(3)^2.(4)^2....(2015)^2/(k)^2, como temos a restrição do valor de k , e sendo o produto dos quadrados tendo todos os naturais de 1 ate 2015 , (k)^2 com certeza estará contido na multiplicação , portanto , a divisão do número por (k)^2 será um número natural , logo teremos como representar o número pela soma dos fatores (k)^2 n vezes , sendo n um número inteiro.
Matheus Tsilva- Fera
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