OBMEP 2015 (Banco de Questões)

por Wolkout Qui 29 Set 2016, 15:50

Tava resolvendo algumas questões do banco da OBMEP e me deparei com essa dái. Eles também oferecem uma solução, mas eu achei meia vaga, slá.. Alguém com uma resolução alternativa a da OBMEP?

Questão (12, Nível 3)

A) Contando os números ímpares de um por um e começando pelo 1, verifique que o número na posição m é igual a
m² - (m-1)².

B) Calcule a soma de todos os números ímpares entre 1000 e 2014.

Resposta da B.:

por **Euclides** Qui 29 Set 2016, 18:42

Podemos fazer por indução finita:

1. m=1 -> verifica-se

2. para um m=k seja verdade, então deve ser verdade para k+1

$\\N=(k+1)^2-(k)^2\\N=k^2+2k+1-k^2\\N=2k+1\;\;\;\therefore \;\;\;\text{\'impar}$

verificado.

entre 1000 e 2014 temos os ímpares 1001, 1003, ..., 2013 que constituem uma PA de razão 2

$\\S=1001+1003+...+2013\\\\2013=1001+(n-1).2\\n=507\;\;\text{\'impares}\\\\S=\frac{1001+2013}{2}\cdot 507\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\;S=764049$

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