(UNIT- Medicina) Progressão Geométrica

O faturamento mensal de uma clínica foi de R$ 16.000,00, em janeiro de 2010, e cresceu, a cada mês, em uma progressão geométrica, chegando a R$ 27.000,00, em janeiro de 2011.
Usando-se 2^1/3= 2,16 e 3^1/2= 1,32, se preciso, calculasse que o faturamento total, no ano de 2010, foi da ordem de:

Resposta: R$ 230.000,00

doraoliveira escreveu:O faturo mensal de uma clínica foi de R$ 16.000,00, em janeiro de 2010, e cresceu, a cada mês, em uma progressão geométrica, chegando a R$ 27.000,00, em janeiro de 2011.
Usando-se 2^1/3= 2,16 e 3^1/2= 1,32, se preciso, calculasse que o faturamento total, no ano de 2010, foi da ordem de:

Resposta: R$ 230.000,00

Boa noite, Dora.

Os dados informados estão incorretos, a saber:
Em lugar de 2^1/3 = 2,16, o certo é 2^1/3 = 1,26; e
em lugar de 3^1/2 = 1,32, o certo é 3^1/4 = 1,32.

a1_ = 16000 (jan 2010)
a13 = 27000 (jan 2011)

an = a1.q^(n-1)
a13 = a1.q^(13-1)
27000 = 16000.a1^12

a1^12 = 27000/16000 = 27/16 = 3³/2⁴
a1 = ¹²√(3³/2⁴) = 3^(3/12) / 2^(4/12) = 3^(1/4) / 2^(1/3) = 1,32 / 1,26 = 132/126 
a1= 22/21

S = a1.(q^n - 1)/(q - 1)
S = 16000.[(22/21)^13 - 1]/(1/21)
S = 16000.(1,83 - 1) * 21/1
S = 16000.(21).0,83
S = R$ 278.880,00



Um abraço.

Sabia que tinha algo errado. Refiz umas 500 vezes aqui heheheh
  :bball:

EsdrasCFOPM escreveu:Sabia que tinha algo errado. Refiz umas 500 vezes aqui heheheh
  :bball:

Bom dia, Esdras.

E eu só descobri ao decompor 27000/16000, pois não estava percebendo onde é que poderia necessitar de 2^(1/3) e de 3^(1/2)...



Receba, do Senhor Jesus, um abençoado final de semana!

Bom dia, Ivomilton.

Também identifiquei na decomposição, só não sabia o que e preferi não "investigar" pois vai que eu tivesse errado. 

Que Deus o abençoe também e que você tenha um ótimo final de semana.  

Só uma pequena observação: o senhor, na passagem do 3º para o 4º passo, trocou o a1 por q. Constatei também que o senhor elevou o "q" a "13", porém a questão pediu apenas o somatório do ano de 2010.

27000 = 16000.q¹²

q¹²=27000/16000=27/16 
a1 = ¹²√(3³/2⁴) = 3^(3/12)/2^(4/12)=3^(1/4)/2^(1/3)=1,32/1,26=132/126 
q= 22/21

S₁₂=a1.(q¹² - 1)/(q - 1)
S₁₂=16000.[27/16-1]/(1/21)
S₁₂=16000.(11/16)/(1/21)
S₁₂=11000.21
S₁₂=R$ 231.000,00

EsdrasCFOPM escreveu:Bom dia, Ivomilton.

Também identifiquei na decomposição, só não sabia o que e preferi não "investigar" pois vai que eu tivesse errado. 

Que Deus o abençoe também e que você tenha um ótimo final de semana.  

Só uma pequena observação: o senhor, na passagem do 3º para o 4º passo, trocou o a1 por q. Constatei também que o senhor elevou o "q" a "13", porém a questão pediu apenas o somatório do ano de 2010.

27000 = 16000.q¹²

q¹²=27000/16000=27/16 
a1 = ¹²√(3³/2⁴) = 3^(3/12)/2^(4/12)=3^(1/4)/2^(1/3)=1,32/1,26=132/126 
q= 22/21

S₁₂=a1.(q¹² - 1)/(q - 1)
S₁₂=16000.[27/16-1]/(1/21)
S₁₂=16000.(11/16)/(1/21)
S₁₂=11000.21
S₁₂=R$ 231.000,00

Bom dia, Esdras, e obrigado pelo retorno.

Vou copiar aqui os últimos passos de minha resolução:

a1^12 = 27000/16000 = 27/16 = 3³/2⁴
a1 = ¹²√(3³/2⁴) = 3^(3/12) / 2^(4/12) = 3^(1/4) / 2^(1/3) = 1,32 / 1,26 = 132/126 
a1= 22/21

S = a1.(q^n - 1)/(q - 1)
S = 16000.[(22/21)^13 - 1]/(1/21)
S = 16000.(1,83 - 1) * 21/1
S = 16000.(21).0,83
S = R$ 278.880,00

Na fórmula anterior (a do enésimo termo), temos:

an = a1.q^(n-1)
a13 = a1.q^(13-1)
27000 = 16000.a1^12

Nela percebemos que 12 é resultado de n-1, ou seja, n=13 (desde jan. 2010 até jan. 2011 são 12 meses, mas 13 termos).
Por isso que, na última porção de meu post, considerei n=13.
Por favor, dá mais uma olhada e depois me dá um retorno.


Um abraço.

Data vênia, permita-me discordar no que tange ao número de termos. Ao dizer que n=13, o senhor estará considerando o valor de jan. 2011 na soma dos termos. Veja:

2010	2011
a1=jan=16000	a13=jan=27000
a2=fev=16000.q1
a3=mar=16000.q2
a4=abr=16000.q3
a5=mai=16000.q4
a6=jun=16000.q5
a7=jul=16000.q6
a8=ago=16000.q7
a9=set=16000.q8
a10=out=16000.q9
a11=nov=16000.q10
a12=dez=16000.q11

O faturamento total do ano de 2010 vai de janeiro a dezembro deste ano com n=12.

Abraço!

Bom dia, Esdras.

Ah, me esqueci de descartas a de janeiro 2011...
Mesmo assim, não consegui chegar ao teu resultado.
Usando o EXCEL, veja abaixo o que encontrei:

22/21 =	1,047619
16000,00	1	16000,00
16000,00	1,047619	16761,90
16761,90	1,047619	17560,09
17560,09	1,047619	18396,28
18396,28	1,047619	19272,30
19272,30	1,047619	20190,02
20190,02	1,047619	21151,45
21151,45	1,047619	22158,66
22158,66	1,047619	23213,84
23213,84	1,047619	24319,26
24319,26	1,047619	25477,31
25477,31	1,047619	26690,52
exclui a linha de jan 2011	total jan a dez 2010	251191,63

Nota;
Em sua planilha o amigo colocou:
Jan 16000
Fev 16000 * q² (mas não devia ser q¹ em lugar de q²? Uma vez que em janeiro deve ter sido qº=1)

Realmente, não prestei a atenção ao digitar a planilha. Os resultados nunca serão iguais pois os valores dado na questão são aproximações. 

Fazendo na calculadora científica achei:

S₁₂=a1.(q¹² - 1)/((3^(1/4)/2^(1/3)) - 1)
S₁₂=11000/((3^(1/4)/2^(1/3)) - 1)
S₁₂=R$ 246.810,3337

Se o senhor fizer a13=a1.q¹² não irá achar 27000 se considerar q=22/21 pois é uma aproximação.

EsdrasCFOPM escreveu:Realmente, não prestei a atenção ao digitar a planilha. Os resultados nunca serão iguais pois os valores dado na questão são aproximações. 

Fazendo na calculadora científica achei:

S₁₂=a1.(q¹² - 1)/((3^(1/4)/2^(1/3)) - 1)
S₁₂=11000/((3^(1/4)/2^(1/3)) - 1)
S₁₂=R$ 246.810,3337

Se o senhor fizer a13=a1.q¹² não irá achar 27000 se considerar q=22/21 pois é uma aproximação.

Boa tarde, Esdras.

Esse valor que o amigo postou agora é o valor do cálculo normal: bate com o que fiz aqui pelo EXCEL.
Se fizermos o cálculo utilizando as aproximações fornecidos no texto da questão, então o total de jan. a dez.2010 irá ser igual aos R$ 251.191,63 de minha última postagem.
Quanto à observação feita na última linha, é verdade; eu fiz também esse cálculo e, no lugar dos 27000, dá:

27961,49

De modo que nunca seria igual aos R$ 230.000,00 dados como gabarito...
Muito obrigado por me acompanhar nos cálculos e por me alertar quanto a considerar tão somente os meses de 2010.



Feliz final de semana!