UNIT-MACEIÓ MEDICINA 2016 -Juros Compostos

Para financiar sua especialização, um estudante de medicina tomou, ao longo de 2 anos,
empréstimos de R$500,00, no início de cada mês, a juros compostos mensais de 2%.
Usando-se 1,02^24 = 1,6, se preciso, pode-se calcular que a dívida total, ao fim desse
período, é de:

A) R$ 12.000,00 
B) R$ 12.500,00 
C) R$ 13.200,00
D) R$ 14.400,00
E) R$ 15.300,00

Olá EsdrasCFOPM,

Para se calcular o montante de um aplicação feita a uma taxa i durante um tempo t, a juros compostos, usamos M=C(i+1)^t.
Onde i e t devem estar em dias,mês, ano etc simultaneamente.
2 anos = 24 meses
O enunciado diz que um estudante tomou, durante 24 meses, 500 reais a juros de 2% ao mês e quer saber no final desses 24 meses, qual será a quantia total que ele deverá pagar ao banco.

No 2º mes : 500(1+0,02)^24 =500*1,02^24
No 3º mes : 500(1+0,02)^23 =500*1,02^23
No 4º mes : 500(1+0,02)^22 =500*1,02^22
E assim vai até o ultimo mês:
No 24º mes : 500(1+0,02)^1 =500*1,02^21

Se somarmos a quantia que ele deve desde a primeira vez que tomou 500 reais até a última vez, teríamos :

(500*1,02^24) + (500*1,02^23) + (500*1,02^22) + .......... + (500*1,02^1)

Fazendo 1,02=A, reescrevemos:
500A^24 +  500A^23 + 500A^22 ...500A=
500( A^24+ A^23+ A^22+ .....A)=

Observe que ( A^24+ A^23+ A^22+ .....A) é a soma de 24 termos de uma P.G.
Para achar essa soma. Usamos a formula para soma dos termos de uma pg finita:


Onde n= último termo da sua soma e q=razão da sua pg.
n=24 e q= 1/A



Usando o dado do enunciado 1,02^24 = 1,6, encontra-se S24=30,6

Assim, a dívida no final dos 24 meses será 30,6*500=15.300 reais.

Espero que tenha entendido. Um abraço.

Obrigado gustavolol2. 

Segui uma linha de raciocínio parecido. Considerei o A1=500 e substituí os valores na fórmula da soma ficando:

Sn=[500x(1,02^24-1)]/1,02-1=300/0,02=15.000

porém se eu considerasse A1=510, ficiaria:

Sn=[510x(1,02^24-1)]/1,02-1=306/0,02=15.300

A minha dúvida é justamente se eu poderia já aplicar a taxa de juros no 1º mês para o A1 ser igual a 510.

Esdras,

Não entendi o motivo de se considerar A1=500.
O estudante não paga o banco no final de cada mês, mas sim no final de 2 anos após começar a pegar os empréstimos. Ou seja, pelo primeiro empréstimo ele pagará 500 aplicados a juros compostos durante 24 meses. Pelo segundo empréstimo ele pagará 500 aplicados a juros compostos durante 23 meses ..etc.

A1 representa o que o estudante pagará pelo primeiro empréstimo 24 meses depois de pega-lo.
A2 representa o que o estudante pagará pelo segundo empréstimo 23 meses depois de pega-lo
E por ai vai ...
O menor elemento dessa p.g é o 510, que representa o que ele pagará no último mês, pelo empréstimo de 500 do último  mês. Seria o elemento A24 na minha p.g.
Se você inverter a P.G = (A , A^2 , A^3 ... A^24), O primeiro termo passa a ser 510 e a razão passa a ser A. A soma será a mesma, apesar de serem sequências distintas.
Na verdade quem resolveu o problema com mais praticidade foi você  

Um abraço.